(1,5 pontos) Sabendo que f(t)=\int_{2016}^{2 t} \frac{\operatorname{sen} u}{u} d u e que F(x)=\int_{x}^{1} f(t) d t calcule F^{\prime \prime}\left(\frac{\pi}{4}\right).

Passo 1

O enunciado dá duas funções definidas por integrais:
  • f(t)=\displaystyle\int_{2016}^{2t} \frac{\operatorname{sen} u}{u}\,du.
  • F(x)=\displaystyle\int_{x}^{1} f(t)\,dt.
O que se pede: calcular F^{\prime\prime}\!\bigl(\tfrac{\pi}{4}\bigr).
Informações importantes extraídas do enunciado:
  • A integral que define f tem limite superior dependente de t 2t) e limite inferior constante ( 2016).
  • A integral que define F tem limite inferior igual a x (variável) e limite superior constante ( 1).

Passo 2

Vamos achar f'(t). Para isso uso o Teorema Fundamental do Cálculo combinado com a regra da cadeia.
Lembrete (teoria aplicada): se
G(t)=\int_{a}^{u(t)} h(s)\,ds,
onde a é constante e u(t) é diferenciável, então a derivada é dada por
G'(t)=u'(t)\,h\bigl(u(t)\bigr).
Aqui h(s) é a função integranda e u(t) é o limite variável — isto é apenas a aplicação da regra da cadeia à integral com limite dependente.
Aplicando isso a f(t):
  • u(t)=2t então u'(t)=2.
  • h(u)=\dfrac{\operatorname{sen} u}{u}.
Portanto
f'(t)=u'(t)\,h\bigl(u(t)\bigr)=2\cdot\frac{\operatorname{sen}(2t)}{2t}.
Simplificando o fator 2:
f'(t)=\frac{\operatorname{sen}(2t)}{t}.

Passo 3

Agora calcule F'(x) e F''(x).
Lembrete (teoria aplicada): se
H(x)=\int_{x}^{b} h(t)\,dt,
com b constante, então a derivada é
H'(x)=-h(x).
Isto vem do Teorema Fundamental do Cálculo observando que a variação do limite inferior produz sinal negativo.
Aplicando a F(x)=\displaystyle\int_{x}^{1} f(t)\,dt, obtemos
F'(x)=-f(x).
Derivando novamente,
F''(x)=-f'(x).

Passo 4

Substituo a expressão que encontrei para f'(x) no passo anterior:
F''(x)=-\frac{\operatorname{sen}(2x)}{x}.
Agora avalio em x=\dfrac{\pi}{4}. Primeiro calculo 2x:
2\cdot\frac{\pi}{4}=\frac{\pi}{2}.
E \operatorname{sen}\!\bigl(\tfrac{\pi}{2}\bigr)=1. Logo
F''\!\left(\frac{\pi}{4}\right)=-\frac{1}{\tfrac{\pi}{4}}.
Para simplificar a fração:
-\frac{1}{\tfrac{\pi}{4}}=-1\cdot\frac{4}{\pi}=-\frac{4}{\pi}.

Passo 5

Resumo final do raciocínio (rápido e amigo): derivamos f usando o Teorema Fundamental do Cálculo + regra da cadeia, depois usamos que a derivada de uma integral com limite inferior variável é o negativo da integranda no ponto. Substituímos e avaliamos em x=\tfrac{\pi}{4} e chegamos ao valor final.

Resposta

-\dfrac{4}{\pi}

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