(1,5 pontos) Sabendo que
e que
calcule
.
Passo 1
O enunciado dá duas funções definidas por integrais:
-
. -
.
O que se pede: calcular
.
Informações importantes extraídas do enunciado:
- A integral que define
tem limite superior dependente de (é ) e limite inferior constante ( ). - A integral que define
tem limite inferior igual a (variável) e limite superior constante ( ).
Passo 2
Vamos achar
. Para isso uso o Teorema Fundamental do Cálculo combinado com a regra da cadeia.
Lembrete (teoria aplicada): se
onde
é constante e
é diferenciável, então a derivada é dada por
Aqui
é a função integranda e
é o limite variável — isto é apenas a aplicação da regra da cadeia à integral com limite dependente.
Aplicando isso a
:
-
então . -
.
Portanto
Simplificando o fator
:
Passo 3
Agora calcule
e
.
Lembrete (teoria aplicada): se
com
constante, então a derivada é
Isto vem do Teorema Fundamental do Cálculo observando que a variação do limite inferior produz sinal negativo.
Aplicando a
, obtemos
Derivando novamente,
Passo 4
Substituo a expressão que encontrei para
no passo anterior:
Agora avalio em
. Primeiro calculo
:
E
. Logo
Para simplificar a fração:
Passo 5
Resumo final do raciocínio (rápido e amigo): derivamos
usando o Teorema Fundamental do Cálculo + regra da cadeia, depois usamos que a derivada de uma integral com limite inferior variável é o negativo da integranda no ponto. Substituímos e avaliamos em
e chegamos ao valor final.