Usando a regra da substituição resolva os seguintes itens:
( 0,5 ponto) Calcule a área abaixo do gráfico de
no intervalo
.
( 0,5 ponto) Calcule a área abaixo do gráfico de
Passo 1
O enunciado pede a área abaixo do gráfico da função
no intervalo
.
Isso significa calcular a integral definida
Isso significa calcular a integral definida
Informações dadas:
- A função é
. - O intervalo é
. - Queremos a área abaixo do gráfico, que para funções não-negativas no intervalo equivale à integral definida indicada acima.
Passo 2
Explicando a regra da substituição (a “fórmula” que vamos usar), de um jeito simples e prático:
- Se temos uma integral em
do tipo , podemos definir e então . A integral vira , que normalmente é mais fácil. - Para integrais definidas, além da troca de variável precisamos trocar também os limites: se
e , então os novos limites ficam e . Assim
Exemplo rápido e clássico (só para fixar):
. Colocando
temos
e a integral passa a ser
, com os limites alterados de
para
.
Passo 3
Agora aplicar a substituição ao nosso caso. Observação: o denominador é
e sua derivada é proporcional ao numerador
. Isso é exatamente a situação em que a substituição funciona bem.
Escolhemos
Calculamos a diferencial:
Agora trocar os limites de integração:
Passo 4
Substituindo tudo na integral original:
A primitiva de
é
. Como
no intervalo considerado, podemos escrever:
Se quiser uma interpretação decimal rápida para ter noção do valor:
Passo 5
Interpretação final: a integral é positiva porque a função
é positiva em
. O resultado exato é a expressão que obtemos com a substituição e avaliação da primitiva.