Usando a regra da substituição resolva os seguintes itens:
( 0,5 ponto) Calcule a área abaixo do gráfico de f(x)=\frac{x}{\left(3 x^{2}+2\right)} no intervalo [1,3].

Passo 1

O enunciado pede a área abaixo do gráfico da função \,f(x)=\dfrac{x}{\left(3 x^{2}+2\right)}\, no intervalo [1,3].
Isso significa calcular a integral definida
\int_{1}^{3}\frac{x}{3x^{2}+2}\,dx.
Informações dadas:
  • A função é \,f(x)=\dfrac{x}{3x^{2}+2}\,.
  • O intervalo é [1,3].
  • Queremos a área abaixo do gráfico, que para funções não-negativas no intervalo equivale à integral definida indicada acima.

Passo 2

Explicando a regra da substituição (a “fórmula” que vamos usar), de um jeito simples e prático:
  • Se temos uma integral em x do tipo \int f(g(x))g'(x)\,dx, podemos definir \,u=g(x) e então \,du=g'(x)\,dx. A integral vira \int f(u)\,du, que normalmente é mais fácil.
  • Para integrais definidas, além da troca de variável precisamos trocar também os limites: se x=a e x=b, então os novos limites ficam u=g(a) e u=g(b). Assim
\int_{a}^{b} f(g(x))g'(x)\,dx = \int_{g(a)}^{g(b)} f(u)\,du.
Exemplo rápido e clássico (só para fixar): \int_{0}^{\pi/2}\cos(2x)\,dx. Colocando u=2x temos du=2\,dx e a integral passa a ser \tfrac{1}{2}\int_{0}^{\pi} \cos u\,du, com os limites alterados de 0,\pi/2 para 0,\pi.

Passo 3

Agora aplicar a substituição ao nosso caso. Observação: o denominador é 3x^{2}+2 e sua derivada é proporcional ao numerador x. Isso é exatamente a situação em que a substituição funciona bem.
Escolhemos
u = 3x^{2}+2.
Calculamos a diferencial:
\frac{du}{dx} = 6x \quad\Rightarrow\quad du = 6x\,dx \quad\Rightarrow\quad x\,dx = \frac{du}{6}.
Agora trocar os limites de integração:
\text{quando } x=1,\; u=3\cdot1^{2}+2=5, \qquad \text{quando } x=3,\; u=3\cdot3^{2}+2=27+2=29.

Passo 4

Substituindo tudo na integral original:
\int_{1}^{3}\frac{x}{3x^{2}+2}\,dx = \int_{u=5}^{u=29} \frac{1}{u}\cdot\frac{du}{6} = \frac{1}{6}\int_{5}^{29}\frac{1}{u}\,du.
A primitiva de \dfrac{1}{u} é \ln|u|. Como u>0 no intervalo considerado, podemos escrever:
\frac{1}{6}\int_{5}^{29}\frac{1}{u}\,du = \frac{1}{6}\big[\ln|u|\big]_{5}^{29} = \frac{1}{6}\big(\ln 29 - \ln 5\big).
Se quiser uma interpretação decimal rápida para ter noção do valor:
\ln\!\left(\frac{29}{5}\right)\approx 1{,}757858\quad\Rightarrow\quad \frac{1}{6}\ln\!\left(\frac{29}{5}\right)\approx 0{,}29298.

Passo 5

Interpretação final: a integral é positiva porque a função \dfrac{x}{3x^{2}+2} é positiva em [1,3]. O resultado exato é a expressão que obtemos com a substituição e avaliação da primitiva.

Resposta

\dfrac{1}{6}\ln\!\left(\dfrac{29}{5}\right)

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