(1,5 ponto) Dado a in R não nulo, considere a função g(theta)=1-cos (a theta)7 theta^2. Determine os valores de a que satisfazem lim theta 0 g(theta)=56.

Passo 1

O enunciado pede para achar os valores de ain R, aneq0, tais que limthetato01-cos(atheta)7theta^2=56. O conteúdo é limites de funções trigonométricas próximos a zero, usando a expansão de Taylor ou o limite conhecido de (1-cos x)/x^2.

Passo 2

Vamos introduzir x=atheta, de modo que quando thetato0 também xto0. Reescrevendo o denominador em termos de x temos
7theta^2=7l(tfracxar)^2=7a^2x^2
Assim, agora a função fica
g(theta)=1-cos(atheta)7theta^2=1-cos x(7/a^2)x^2=a^27cdot1-cos xx^2
Como sabemos o limite padrão, usamos limxto01-cos xx^2=tfrac12. Logo
limthetato0g(theta)=a^27cdot12=a^214

Passo 3

Para satisfazer limthetato0g(theta)=56, basta resolver
a^214=56
que leva a
a^2=56cdot14=784Longrightarrow a=pm28

Resposta

a=pm28

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