(a) D é a região limitada pelo eixo y, pelas retas y=1 e y=3 e pela parábola y^2=x. [resp. 26/3]
(b) D é a região limitada pela elipse x^2a^2+y^2b^2=1. [resp. pi a b]
© D é o triangulo com vértices nos pontos (2,0),(1,3) e (-1,1). [resp. 4]

Passo 1

Estamos buscando a área da região D nos três casos. Esse tipo de problema usa tanto integrais duplas quanto fórmulas geométricas conhecidas, dependendo da forma da região.

Passo 2

No caso (a) a região D é dada por 0 ≤ x ≤ y² e 1 ≤ y ≤ 3. Para calcular a área vamos usar a integral dupla
integral duplaD dA = integraly=1^3 integralx=0^y^2 dx,dy
Resolvendo a integral interna e depois a externa:
integral duplaD dA = integral1^3 l[y^2r] dy = integral1^3 y^2 dy = [y^33]1^3 = 27 - 13 = 263

Passo 3

No caso (b) D é a elipse
x^2a^2 + y^2b^2 = 1
Um fato clássico da geometria é que a área de uma elipse é dada por
A = pi,a,b

Passo 4

No caso © D é o triângulo com vértices (2,0), (1,3) e (-1,1). Podemos usar a fórmula da área via determinante:
A = 12l|x1(y2 - y3) + x2(y3 - y1) + x3(y1 - y2)r|
Substituindo (x₁,y₁)=(2,0), (x₂,y₂)=(1,3), (x₃,y₃)=(-1,1) obtemos
A = 12l|2(3 - 1) + 1(1 - 0) + (-1)(0 - 3)r| = 12l|2cdot2 + 1 + (-1)cdot(-3)r| = 12l|4 + 1 + 3r| = 12cdot8 = 4

Resposta

(a) tfrac263 (b) pi a b © 4

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