(1 ponto) Em uma cidade em que os carros são testados para emissão de poluentes, 21 \% deles emitem quantidade considerada excessiva. O teste reprova 95 \% dos carros que emitem excesso de poluentes, mas resulta em falso positivo para 6.00000000000001 \% dos carros que emitem quantidade considerada normal. Qual é a probabilidade de um carro reprovado no teste realmente emitir quantidade excessiva de poluentes?
a. 0.808
b. 0.986
c. 0.950
\begin{array}{cc} P(n / r) & P(r / n)=0,06 \rightarrow \\\ P(n)=0,79 & P^{P}(n / r)=\frac{0,06 \cdot 0,79}{0,9974} \\\ P(r)=0,95 & 0,0475 \end{array}
d. 0.192
e. 0.851

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que ele pede.
  • Informação: 21\% dos carros emitem quantidade considerada excessiva. Ou seja, P(\text{excesso}) = 0,21.
  • Informação: os carros que emitem excesso são reprovados em 95\% dos casos. Ou seja, P(\text{reprovado}\mid\text{excesso}) = 0,95.
  • Informação: o teste dá falso positivo para 6{,}00000000000001\% dos carros com emissão normal. Vou usar essa taxa como P(\text{reprovado}\mid\text{normal}) = 0,0600000000000001 \approx 0,06.
  • Daí P(\text{normal}) = 1 - P(\text{excesso}) = 0,79.
O que o enunciado pede: qual é a probabilidade de um carro reprovado no teste realmente emitir quantidade excessiva de poluentes, isto é calcular
P(\text{excesso}\mid\text{reprovado}).

Passo 2

Apresento a ferramenta que vamos usar: o Teorema de Bayes. Ele diz que
P(\text{excesso}\mid\text{reprovado}) = \frac{P(\text{reprovado}\mid\text{excesso})\;P(\text{excesso})}{P(\text{reprovado})}.
Explicando cada termo:
  • P(\text{reprovado}\mid\text{excesso}) é a sensibilidade do teste (probabilidade de reprovado se o carro realmente emite excesso).
  • P(\text{excesso}) é a prevalência (fração de carros que realmente emitem excesso).
  • P(\text{reprovado}) é a probabilidade total de um carro ser reprovado — usa-se a regra da probabilidade total: P(\text{reprovado}) = P(\text{reprovado}\mid\text{excesso})P(\text{excesso}) + P(\text{reprovado}\mid\text{normal})P(\text{normal}).
Essa soma considera os dois caminhos que levam a “reprovado”: ser realmente excesso ou ser normal e ter falso positivo.

Passo 3

Calculo passo a passo os componentes numéricos.
  1. Produto sensibilidade × prevalência:
P(\text{reprovado}\mid\text{excesso})P(\text{excesso}) = 0,95 \times 0,21 = 0,1995.
  1. Produto falso positivo × prevalência de normal:
P(\text{reprovado}\mid\text{normal})P(\text{normal}) = 0,06 \times 0,79 = 0,0474.
  1. Probabilidade total de reprovado:
P(\text{reprovado}) = 0,1995 + 0,0474 = 0,2469.

Passo 4

Agora aplico Bayes dividindo o numerador pelo total:
P(\text{excesso}\mid\text{reprovado}) = \frac{0,1995}{0,2469}.
Faço a divisão (arredondando o resultado para três casas decimais, como nas alternativas):
\frac{0,1995}{0,2469} \approx 0,808.
Verificação rápida por multiplicação: 0,2469\times0,808 \approx 0,1994952, muito próximo de 0,1995, então 0,808 é coerente.
Interpretação curta e motivadora: mesmo com um teste bastante sensível, a prevalência influencia muito; aqui, entre os reprovados, cerca de 80{,}8\% realmente emitem excesso — isso significa que ainda há uma parcela de falsos positivos (aprox. 19{,}2\%).

Passo 5

Comparando com as alternativas dadas, a alternativa correta é a que mostra 0,808.

Resposta

a. 0,808

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