(1 ponto) Em uma cidade em que os carros são testados para emissão de poluentes,
deles emitem quantidade considerada excessiva. O teste reprova
dos carros que emitem excesso de poluentes, mas resulta em falso positivo para
dos carros que emitem quantidade considerada normal. Qual é a probabilidade de um carro reprovado no teste realmente emitir quantidade excessiva de poluentes?
a. 0.808
b. 0.986
c. 0.950
d. 0.192
e. 0.851
a. 0.808
b. 0.986
c. 0.950
e. 0.851
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que ele pede.
- Informação:
dos carros emitem quantidade considerada excessiva. Ou seja, - Informação: os carros que emitem excesso são reprovados em
dos casos. Ou seja, - Informação: o teste dá falso positivo para
dos carros com emissão normal. Vou usar essa taxa como - Daí
O que o enunciado pede: qual é a probabilidade de um carro reprovado no teste realmente emitir quantidade excessiva de poluentes, isto é calcular
Passo 2
Apresento a ferramenta que vamos usar: o Teorema de Bayes. Ele diz que
Explicando cada termo:
-
é a sensibilidade do teste (probabilidade de reprovado se o carro realmente emite excesso). -
é a prevalência (fração de carros que realmente emitem excesso). -
é a probabilidade total de um carro ser reprovado — usa-se a regra da probabilidade total:
Essa soma considera os dois caminhos que levam a “reprovado”: ser realmente excesso ou ser normal e ter falso positivo.
Passo 3
Calculo passo a passo os componentes numéricos.
- Produto sensibilidade × prevalência:
- Produto falso positivo × prevalência de normal:
- Probabilidade total de reprovado:
Passo 4
Agora aplico Bayes dividindo o numerador pelo total:
Faço a divisão (arredondando o resultado para três casas decimais, como nas alternativas):
Verificação rápida por multiplicação:
, muito próximo de
, então
é coerente.
Interpretação curta e motivadora: mesmo com um teste bastante sensível, a prevalência influencia muito; aqui, entre os reprovados, cerca de
realmente emitem excesso — isso significa que ainda há uma parcela de falsos positivos (aprox.
).
Passo 5
Comparando com as alternativas dadas, a alternativa correta é a que mostra
.
Resposta
a.