(1 ponto) O tempo gasto por um técnico para realizar a manutenção preventiva de um aparelho de ar condicionado tem média igual a 87 minutos e desvio-padrão igual a 24 minutos. Se um cliente tem 28 destes aparelhos, qual é a probabilidade de que o tempo médio de realização da manutenção destas unidades exceda 86 minutos?
a. 0.5194
  • b. 0.5871
    c. 0.2366
\begin{aligned} & \bar{x}=87 \mathrm{~min} \\\ & \sigma=24 \mathrm{~min} \\\ & n=28 \\\ & p(x>86) \end{aligned}
d. 0.5166
e. 0.5007

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede. (Peguei todos esses dados do enunciado.)
  • Tempo médio da manutenção: \mu=87 minutos.
  • Desvio-padrão populacional: \sigma=24 minutos.
  • Tamanho da amostra (número de aparelhos): n=28.
  • O que se pede: a probabilidade de que a média amostral exceda 86 minutos, isto é P\!\left(\bar{X}>86\right).

Passo 2

Qual a ideia geral e a fórmula que vamos usar (explicação didática).
  • Quando temos uma população com média \mu e desvio-padrão \sigma, a média amostral \bar{X} (média de n observações) é uma variável aleatória com média \mu_{\bar{X}}=\mu e desvio-padrão igual ao desvio-padrão da população dividido pela raiz de n. Esse desvio-padrão da média amostral chama-se erro padrão (standard error).
  • Fórmula do erro padrão:
\text{SE}=\frac{\sigma}{\sqrt{n}},
onde \sigma é o desvio-padrão populacional e n é o tamanho da amostra.
  • Se a população for normal ou se n for suficientemente grande, a distribuição de \bar{X} é aproximadamente normal (Teorema do Limite Central). Aqui n=28 é razoavelmente grande para aplicar a aproximação normal.
  • Para calcular probabilidades usamos a padronização para a normal padrão Z:
Z=\frac{\bar{X}-\mu}{\text{SE}}.
Assim
P\!\left(\bar{X}>86\right)=P\!\left(Z>\frac{86-\mu}{\text{SE}}\right).

Passo 3

Calcular o erro padrão numericamente.
\text{SE}=\frac{\sigma}{\sqrt{n}}=\frac{24}{\sqrt{28}}.
Calcule \sqrt{28}\approx 5,2915, então
\text{SE}\approx\frac{24}{5,2915}\approx 4,537.
(Arredondei para três casas decimais para ficar legível.)

Passo 4

Calcular o valor z correspondente a \bar{X}=86.
z=\frac{86-\mu}{\text{SE}}=\frac{86-87}{4,537}=\frac{-1}{4,537}\approx -0,2204.

Passo 5

Converter a probabilidade para a normal padrão e usar a simetria da normal.
P\!\left(\bar{X}>86\right)=P\!\left(Z>-0,2204\right).
Como a distribuição normal padrão é simétrica, P(Z>-0,2204)=P(Z<0,2204)=\Phi(0,2204), onde \Phi é a função de distribuição da normal padrão.
Consultando a tabela da normal padrão (ou uma calculadora), tem-se
\Phi(0,2204)\approx 0,5871.

Passo 6

Interpretação final e escolha da alternativa.
  • A probabilidade pedida é \approx 0,5871, que corresponde à alternativa (b).

Resposta

(b) 0,5871

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