(1 ponto) O tempo gasto por um técnico para realizar a manutenção preventiva de um aparelho de ar condicionado tem média igual a 87 minutos e desvio-padrão igual a 24 minutos. Se um cliente tem 28 destes aparelhos, qual é a probabilidade de que o tempo médio de realização da manutenção destas unidades exceda 86 minutos?
a. 0.5194
- b. 0.5871
c. 0.2366
d. 0.5166
e. 0.5007
a. 0.5194
c. 0.2366
e. 0.5007
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede. (Peguei todos esses dados do enunciado.)
- Tempo médio da manutenção:
minutos. - Desvio-padrão populacional:
minutos. - Tamanho da amostra (número de aparelhos):
. - O que se pede: a probabilidade de que a média amostral exceda 86 minutos, isto é
.
Passo 2
Qual a ideia geral e a fórmula que vamos usar (explicação didática).
- Quando temos uma população com média
e desvio-padrão , a média amostral (média de observações) é uma variável aleatória com média e desvio-padrão igual ao desvio-padrão da população dividido pela raiz de . Esse desvio-padrão da média amostral chama-se erro padrão (standard error). - Fórmula do erro padrão:
onde
é o desvio-padrão populacional e
é o tamanho da amostra.
- Se a população for normal ou se
for suficientemente grande, a distribuição de é aproximadamente normal (Teorema do Limite Central). Aqui é razoavelmente grande para aplicar a aproximação normal. - Para calcular probabilidades usamos a padronização para a normal padrão
:
Assim
Passo 3
Calcular o erro padrão numericamente.
Calcule
, então
(Arredondei para três casas decimais para ficar legível.)
Passo 4
Calcular o valor
correspondente a
.
Passo 5
Converter a probabilidade para a normal padrão e usar a simetria da normal.
Como a distribuição normal padrão é simétrica,
, onde
é a função de distribuição da normal padrão.
Consultando a tabela da normal padrão (ou uma calculadora), tem-se
Consultando a tabela da normal padrão (ou uma calculadora), tem-se
Passo 6
Interpretação final e escolha da alternativa.
- A probabilidade pedida é
, que corresponde à alternativa (b).
Resposta
(b)