(1 ponto) Em um pomar, as maçãs colhidas são distribuídas aleatoriamente em pacotes, cada um contendo 6 frutos. O pomar teve um total de 26 maçãs recolhidas, e 6 frutos foram considerados de ótima qualidade. Seja X o número de maçãs ótimas alocadas ao primeiro pacote, qual das distribuições de probabilidade seria adequada para descrever a variável aleatória X ?
a. Geométrica(6/26)

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações:
  • \,26\, maçãs no total colhidas no pomar.
  • Dessas, \,6\, maçãs são consideradas de ótima qualidade.
  • As maçãs são distribuídas aleatoriamente em pacotes, cada pacote contendo \,6\, frutos.
  • Seja X o número de maçãs ótimas alocadas ao primeiro pacote.
A pergunta do enunciado é: qual distribuição de probabilidade é adequada para descrever a variável aleatória X? (Foi oferecida como alternativa a distribuição Geométrica \bigl(6/26\bigr).)

Passo 2

Entender o experimento: o primeiro pacote recebe \,6\, maçãs escolhidas aleatoriamente dentre as \,26\, sem reposição (ou seja, uma maçã selecionada para o pacote não volta para a população). Temos uma população finita com \,K=6\, sucessos (maçãs ótimas) e \,N-K=20\, fracassos (maçãs não ótimas), e retiramos uma amostra de tamanho \,n=6\, (o primeiro pacote). A variável X conta quantos sucessos aparecem nessa amostra de tamanho \,n\,.
Quando se amostra sem reposição de uma população finita com um número fixo de sucessos, a distribuição natural para o número de sucessos na amostra é a distribuição hipergeométrica. Vou explicar por que e dar a fórmula.

Passo 3

Definição e ideia combinatória da distribuição hipergeométrica:
  • Seja \,N o tamanho da população, \,K o número de sucessos na população, \,n o tamanho da amostra e X o número de sucessos na amostra.
  • A probabilidade de obter exatamente \,k\, sucessos na amostra é obtida contando combinações:
    • escolher \,k\, sucessos dentre os \,K\,: \displaystyle \binom{K}{k};
    • escolher \,n-k\, fracassos dentre os \,N-K\,: \displaystyle \binom{N-K}{\,n-k\,};
    • dividir pelo número total de maneiras de escolher \,n\, itens dentre \,N\,: \displaystyle \binom{N}{n}.
Portanto, a função massa de probabilidade é
P(X=k)=\frac{\binom{K}{k}\binom{N-K}{\,n-k\,}}{\binom{N}{n}},
onde k deve satisfazer \max(0,n-(N-K))\le k\le\min(n,K).

Passo 4

Aplicando aos números do enunciado:
  • Aqui \,N=26, \,K=6, \,n=6.
  • Assim
P(X=k)=\frac{\binom{6}{k}\binom{20}{6-k}}{\binom{26}{6}},\qquad k=0,1,2,\dots,6.
Essa é a distribuição exata de X porque a amostra é sem reposição e a população é pequena; a dependência entre retiradas faz com que a binomial (que pressupõe independência) não seja correta aqui.

Passo 5

Por que a Geométrica \bigl(6/26\bigr) não é apropriada:
  • A distribuição geométrica modela o número de tentativas até o primeiro sucesso em uma sequência de ensaios de Bernoulli independentes (com reposição implícita ou ensaios repetidos idênticos), ou o número de falhas antes do primeiro sucesso, dependendo da convenção. No nosso problema não estamos contando tentativas até o primeiro sucesso, nem temos ensaios independentes: estamos selecionando uma amostra fixa de tamanho \,6\, sem reposição. Portanto a geométrica não descreve esse cenário.

Resposta

Hipergeométrica: \displaystyle P(X=k)=\frac{\binom{6}{k}\binom{20}{6-k}}{\binom{26}{6}},\quad k=0,1,\dots,6

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