(1 ponto) Em um pomar, as maçãs colhidas são distribuídas aleatoriamente em pacotes, cada um contendo 6 frutos. O pomar teve um total de 26 maçãs recolhidas, e 6 frutos foram considerados de ótima qualidade. Seja
o número de maçãs ótimas alocadas ao primeiro pacote, qual das distribuições de probabilidade seria adequada para descrever a variável aleatória
?
a. Geométrica(6/26)
a. Geométrica(6/26)
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações:
- Há
maçãs no total colhidas no pomar. - Dessas,
maçãs são consideradas de ótima qualidade. - As maçãs são distribuídas aleatoriamente em pacotes, cada pacote contendo
frutos. - Seja
o número de maçãs ótimas alocadas ao primeiro pacote.
A pergunta do enunciado é: qual distribuição de probabilidade é adequada para descrever a variável aleatória
? (Foi oferecida como alternativa a distribuição Geométrica
.)
Passo 2
Entender o experimento: o primeiro pacote recebe
maçãs escolhidas aleatoriamente dentre as
sem reposição (ou seja, uma maçã selecionada para o pacote não volta para a população). Temos uma população finita com
sucessos (maçãs ótimas) e
fracassos (maçãs não ótimas), e retiramos uma amostra de tamanho
(o primeiro pacote). A variável
conta quantos sucessos aparecem nessa amostra de tamanho
.
Quando se amostra sem reposição de uma população finita com um número fixo de sucessos, a distribuição natural para o número de sucessos na amostra é a distribuição hipergeométrica. Vou explicar por que e dar a fórmula.
Passo 3
Definição e ideia combinatória da distribuição hipergeométrica:
- Seja
o tamanho da população, o número de sucessos na população, o tamanho da amostra e o número de sucessos na amostra. - A probabilidade de obter exatamente
sucessos na amostra é obtida contando combinações: - escolher
sucessos dentre os : ; - escolher
fracassos dentre os : ; - dividir pelo número total de maneiras de escolher
itens dentre : .
- escolher
Portanto, a função massa de probabilidade é
onde
deve satisfazer
.
Passo 4
Aplicando aos números do enunciado:
- Aqui
, , . - Assim
Essa é a distribuição exata de
porque a amostra é sem reposição e a população é pequena; a dependência entre retiradas faz com que a binomial (que pressupõe independência) não seja correta aqui.
Passo 5
Por que a Geométrica
não é apropriada:
- A distribuição geométrica modela o número de tentativas até o primeiro sucesso em uma sequência de ensaios de Bernoulli independentes (com reposição implícita ou ensaios repetidos idênticos), ou o número de falhas antes do primeiro sucesso, dependendo da convenção. No nosso problema não estamos contando tentativas até o primeiro sucesso, nem temos ensaios independentes: estamos selecionando uma amostra fixa de tamanho
sem reposição. Portanto a geométrica não descreve esse cenário.
Resposta
Hipergeométrica: