1 (1 ponto) Um circuito RLC tem um capacitor de 11,4 nF, um indutor de 25,4 mH e um resistor de 59,8 Omega. O Capacitor foi inicialmente carregado até uma carga Q e depois conectado ao circuito.
(a) Qual a frequência de oscilação do circuito? (b) Em quanto tempo a amplitude de oscilação no circuito será 10 % da amplitude inicial? © Para qual valor de R a oscilação terá amortecimento crítico?
(a) (A) 114 kHz , (B) 163 kHz , © 120 kHz , (D) 92,3 kHz, (E) 82,8 kHz, (F) 153 kHz, (G) 214 kHz , (H) 70,4 kHz, (I) 127 kHz , (J) 78,0 kHz, (K) 105 kHz , (L) 175 kHz , (M) 192 kHz , (N) 139 kHz ,
(b) (A) 1,19 ms, (B) 0,725 ms, © 1,96 ms, (D) 1,09 ms, (E) 0,891 ms, (F) 1,01 ms, (G) 0,601 ms, (H) 0,763 ms, (I) 2,27 ms, (J) 1,29 ms, (K) 1,70 ms, (L) 0,936 ms,(M) 1,49 ms, (N) 2,45 ms, (O) 1,40 ms, § 0,815 ms,
© (A) 1,52 k Omega, (B) 1,65 k Omega, © 1,75 k Omega, (D) 1,85 k Omega, (E) 2,00 k Omega, (F) 2,16 k Omega, (G) 2,34 k Omega, (H) 2,48 k Omega, (I) 2,62 k Omega, (J) 2,99 k Omega, (K) 3,32 k Omega, (L) 3,51 k Omega, (M) 3,70 k Omega, (N) 3,93 k Omega, (O) 4,18 k Omega

Passo 1

Vamos resolver um exercício sobre circuitos RLC! Temos um capacitor de 11,4 , nF, um indutor de 25,4 , mH e um resistor de 59,8 , Omega. O capacitor foi carregado e depois conectado ao circuito. Precisamos encontrar:
(a) A frequência de oscilação do circuito.
(b) O tempo para a amplitude das oscilações decair para 10% da inicial.
© O valor de R que resulta em amortecimento crítico.
Para resolver isso, vamos usar conceitos de circuitos ressonantes e teoria de amortecimento.

Passo 2

Parte (a): Frequência de Oscilação
A frequência natural de oscilação de um circuito RLC é dada pela fórmula:
f = 12pi raizLC
Onde:
  • L é a indutância do indutor.
  • C é a capacitância do capacitor.
Convertendo as unidades:
  • L = 25,4 , mH = 25,4 times 10^-3 , H
  • C = 11,4 , nF = 11,4 times 10^-9 , F
Calculando raizLC:
LC = 25,4 times 10^-3 , H times 11,4 times 10^-9 , F = 289,56 times 10^-12 , HcdotF
raizLC = raiz289,56 times 10^-12 approx 17,02 times 10^-6 , s
Calculando a frequência f:
f = 12pi times 17,02 times 10^-6 approx 11,068 times 10^-4 approx 9362 , Hz
f approx 9,36 , kHz
Observação: Nenhuma das opções fornecidas corresponde a 9,36 , kHz. Pode haver um erro nas unidades fornecidas ou nas opções. Entretanto, seguiremos com o cálculo correto.

Passo 3

Parte (b): Tempo para a Amplitude Decair para 10% da Inicial
Em um circuito RLC com resistência R, a amplitude das oscilações decai exponencialmente de acordo com:
A(t) = A0 e^-R2L t
Queremos encontrar o tempo t para que A(t) = 0,1 A0:
0,1 A0 = A0 e^-R2L t
0,1 = e^-R2L t
Aplicando o logaritmo natural:
ln(0,1) = -R2L t
t = -2LR ln(0,1)
Calculando:
ln(0,1) approx -2,303
t = -2 times 25,4 times 10^-359,8 times (-2,303) approx 0,050859,8 times 2,303 approx 0,00195 , s = 1,95 , ms
Resposta mais próxima: 1,96 , ms (Opção ©)

Passo 4

Parte ©: Resistência para Amortecimento Crítico
O amortecimento crítico ocorre quando R é tal que o sistema retorna à posição de equilíbrio o mais rápido possível sem oscilações. A condição para amortecimento crítico é:
Rc = 2 raizLC
Calculando:
Rc = 2 raiz25,4 times 10^-311,4 times 10^-9 = 2 raiz25,411,4 times 10^6 approx 2 raiz2,23 times 10^6 approx 2 times 1490 approx 2980 , Omega
Resposta mais próxima: 2,99 , kOmega (Opção (J))

Resposta

(a) A frequência de oscilação é aproximadamente 9,36 , kHz.
(b) O tempo para a amplitude decair para 10% da inicial é 1,96 , ms (Opção C).
© O valor de R para amortecimento crítico é 2,99 , kOmega (Opção J).

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