Sejam A e B matrizes de tamanho n \times n. Prove o seguinte:
\left(1,0\right. ponto) (I+A B)^{-1} A=\left(A^{-1}+B\right)^{-1}.

Passo 1

Resumindo: temos duas matrizes quadradas invertíveis A e B de ordem n e supomos que I+AB também é invertível. Queremos mostrar a igualdade
(I+AB)^{-1}A \;=\;(A^{-1}+B)^{-1}.
O que vamos usar é a fatoração de somas envolvendo A^{-1} e a propriedade de que, se X e Y são invertíveis, então (XY)^{-1}=Y^{-1}X^{-1}.

Passo 2

Observe que
A^{-1}+B \,=\, A^{-1}I + A^{-1}AB \,=\, A^{-1}(I+AB).

Passo 3

Como A^{-1} e I+AB são invertíveis, o produto A^{-1}(I+AB) é invertível e
(A^{-1}+B)^{-1} =\bigl(A^{-1}(I+AB)\bigr)^{-1} =(I+AB)^{-1}\,(A^{-1})^{-1} =(I+AB)^{-1}A.

Resposta

(I+AB)^{-1}A \;=\;(A^{-1}+B)^{-1}.

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