(1,0 ponto) Classifique as equações diferenciais abaixo (ordem, linearidade, homogênea/ não homogênea):
(a):
(a):
Passo 1
O enunciado pede que a equação diferencial seja classificada segundo: ordem, linearidade e se é homogênea ou não homogênea. A equação dada é:
Informações fornecidas: os termos presentes são
(segunda derivada),
(primeira derivada),
(função) e o lado direito é
.
Passo 2
Ordem: o que é ordem de uma equação diferencial? Ordem é o grau da maior derivada que aparece na equação. Na equação dada o termo com maior derivada é
, que é a derivada de ordem
. Portanto a ordem é
.
Explicação didática: se a maior derivada tivesse sido a ordem seria
; se aparecesse
, a ordem seria
, e assim por diante.
Explicação didática: se a maior derivada tivesse sido
Passo 3
Linearidade — definição e o que procurar: uma equação diferencial é linear se pode ser escrita na forma
onde cada
e
são funções apenas da variável independente (por exemplo
), e não dependem de
. “Linear” significa que
e todas as derivadas aparecem apenas com coeficientes multiplicativos (não aparecem termos como
,
,
, etc.). Nesta forma, os coeficientes podem depender de
(funções), mas nunca de
.
Passo 4
Aplicando isso à equação dada: compare com a forma linear.
Os coeficientes são ,
,
— todos constantes (logo funções de
também), e o termo do lado direito é
. Não há nenhum produto ou potência de
ou de suas derivadas. Logo a equação é linear.
Exemplo contrastante (para fixar): não seria linear porque aparece
, que é uma função não linear de
.
Os coeficientes são
Exemplo contrastante (para fixar):
Passo 5
Homogeneidade — definição e verificação: uma equação linear é dita homogênea se o membro do lado direito
for igual a
. Se
ela é não homogênea (ou inhomogênea).
Na equação dada temos . Portanto a equação é homogênea.
Na equação dada temos
Passo 6
Coeficientes constantes (observação útil): como os coeficientes
são números fixos (
), dizemos também que é uma equação linear de coeficientes constantes. Isso é importante porque permite resolver usando a equação característica, mas aqui só era pedido classificar.
Resposta
Ordem
; linear; homogênea; coeficientes constantes.