(1,0 ponto) Classifique as equações diferenciais abaixo (ordem, linearidade, homogênea/ não homogênea):
(a): y^{\prime \prime}+y^{\prime}-6 y=0

Passo 1

O enunciado pede que a equação diferencial seja classificada segundo: ordem, linearidade e se é homogênea ou não homogênea. A equação dada é:
y'' + y' - 6y = 0
Informações fornecidas: os termos presentes são y'' (segunda derivada), y' (primeira derivada), y (função) e o lado direito é 0.

Passo 2

Ordem: o que é ordem de uma equação diferencial? Ordem é o grau da maior derivada que aparece na equação. Na equação dada o termo com maior derivada é y'', que é a derivada de ordem 2. Portanto a ordem é 2.
Explicação didática: se a maior derivada tivesse sido y' a ordem seria 1; se aparecesse y^{(3)}, a ordem seria 3, e assim por diante.

Passo 3

Linearidade — definição e o que procurar: uma equação diferencial é linear se pode ser escrita na forma
a_n(x)\,y^{(n)} + a_{n-1}(x)\,y^{(n-1)} + \cdots + a_1(x)\,y' + a_0(x)\,y = g(x),
onde cada a_k(x) e g(x) são funções apenas da variável independente (por exemplo x), e não dependem de y. “Linear” significa que y e todas as derivadas aparecem apenas com coeficientes multiplicativos (não aparecem termos como (y')^2, y\cdot y', \sin(y), etc.). Nesta forma, os coeficientes podem depender de x (funções), mas nunca de y.

Passo 4

Aplicando isso à equação dada: compare com a forma linear.
Os coeficientes são a_2=1, a_1=1, a_0=-6 — todos constantes (logo funções de x também), e o termo do lado direito é g(x)=0. Não há nenhum produto ou potência de y ou de suas derivadas. Logo a equação é linear.
Exemplo contrastante (para fixar): \,y'' + (y')^2 = 0 não seria linear porque aparece (y')^2, que é uma função não linear de y'.

Passo 5

Homogeneidade — definição e verificação: uma equação linear é dita homogênea se o membro do lado direito g(x) for igual a 0. Se g(x)\neq 0 ela é não homogênea (ou inhomogênea).
Na equação dada temos g(x)=0. Portanto a equação é homogênea.

Passo 6

Coeficientes constantes (observação útil): como os coeficientes a_2, a_1, a_0 são números fixos ( 1,1,-6), dizemos também que é uma equação linear de coeficientes constantes. Isso é importante porque permite resolver usando a equação característica, mas aqui só era pedido classificar.

Resposta

Ordem 2; linear; homogênea; coeficientes constantes.

Exercícios relacionados