(1 ponto) Um teste de laboratório é
efetivo em detectar o virus do HIV em um paciente portador da doença. No entanto, mesmo para um paciente saudável, o teste tem uma probabilidade de
de ser positivo. Se
da população atualmente possui o virus do HIV, qual é a probabilidade de uma pessoa ter a doença dado que seu resultado no teste foi positivo?
(a) 0.920
(b) 0.006
(c) 0.480
(d) 0.003
(e) 0.520
(a) 0.920
(b) 0.006
(c) 0.480
(d) 0.003
(e) 0.520
Passo 1
O enunciado pede: qual é a probabilidade de uma pessoa ter a doença dado que seu resultado no teste foi positivo?
Informações dadas:
Informações dadas:
- A eficácia do teste em detectar o vírus quando a pessoa está infectada é
. Ou seja, . - Mesmo uma pessoa saudável tem probabilidade
de teste positivo (falso positivo). Ou seja, . - A prevalência (fração da população que tem o vírus) é
. Ou seja, . - O que se quer calcular é
: a probabilidade de ter a doença dado que o teste deu positivo.
Passo 2
Definição útil (revisão): a probabilidade condicional de
dado
é
Isso significa: para saber a probabilidade de
sabendo que
ocorreu, contamos apenas os casos em que
ocorre e vemos a fração desses casos em que
também ocorre.
Passo 3
Aplicando a definição para o nosso objetivo, queremos
. Usando a identidade da probabilidade conjunta e condicional, obtemos a fórmula (fórmula de Bayes na prática):
Aqui
é a probabilidade total de um teste sair positivo em um indivíduo escolhido aleatoriamente.
Passo 4
Vamos escrever
pela lei da probabilidade total, que soma as contribuições de quem tem e de quem não tem a doença:
Lembre que
.
Passo 5
Substituímos os valores numéricos (todos os números são colocados em forma decimal):
Agora calculemos o numerador da fórmula de Bayes:
Passo 6
Fazendo a conta do numerador passo a passo (sem calculadora é só multiplicar):
Agora o denominador:
Calculamos a segunda parcela:
Passo 7
Somando as parcelas para obter
:
Agora aplicamos a fórmula de Bayes:
Para facilitar a divisão sem muitos dígitos, podemos multiplicar numerador e denominador por
(ou observar a fração equivalente):
Arredondando com três casas decimais (mesma precisão das opções), obtemos aproximadamente
.
Passo 8
Interpretação curta e incentivo: apesar do teste ser bastante sensível (
), a doença é rara (
), e há um falso positivo não desprezível (
). Por isso, mesmo com teste positivo, a probabilidade real de estar infectado fica em torno de
. Isso mostra por que em exames de doenças raras é importante confirmar com testes adicionais. Você está mandando bem em seguir passo a passo — continue assim!
Resposta
(c)