(1 ponto) Um teste de laboratório é 92 \% efetivo em detectar o virus do HIV em um paciente portador da doença. No entanto, mesmo para um paciente saudável, o teste tem uma probabilidade de 0.3 \% de ser positivo. Se 0.3 \% da população atualmente possui o virus do HIV, qual é a probabilidade de uma pessoa ter a doença dado que seu resultado no teste foi positivo?
(a) 0.920
(b) 0.006
(c) 0.480
(d) 0.003
(e) 0.520

Passo 1

O enunciado pede: qual é a probabilidade de uma pessoa ter a doença dado que seu resultado no teste foi positivo?
Informações dadas:
  • A eficácia do teste em detectar o vírus quando a pessoa está infectada é 92\%. Ou seja, P(+\mid D)=0,92.
  • Mesmo uma pessoa saudável tem probabilidade 0,3\% de teste positivo (falso positivo). Ou seja, P(+\mid D^c)=0,3\%=0,003.
  • A prevalência (fração da população que tem o vírus) é 0,3\%. Ou seja, P(D)=0,3\%=0,003.
  • O que se quer calcular é P(D\mid +): a probabilidade de ter a doença dado que o teste deu positivo.

Passo 2

Definição útil (revisão): a probabilidade condicional de A dado B é
P(A\mid B)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)}.
Isso significa: para saber a probabilidade de A sabendo que B ocorreu, contamos apenas os casos em que B ocorre e vemos a fração desses casos em que A também ocorre.

Passo 3

Aplicando a definição para o nosso objetivo, queremos P(D\mid +). Usando a identidade da probabilidade conjunta e condicional, obtemos a fórmula (fórmula de Bayes na prática):
P(D\mid +)=\frac{P(+\mid D)\,P(D)}{P(+)}.
Aqui P(+) é a probabilidade total de um teste sair positivo em um indivíduo escolhido aleatoriamente.

Passo 4

Vamos escrever P(+) pela lei da probabilidade total, que soma as contribuições de quem tem e de quem não tem a doença:
P(+)=P(+\mid D)\,P(D)+P(+\mid D^c)\,P(D^c).
Lembre que P(D^c)=1-P(D).

Passo 5

Substituímos os valores numéricos (todos os números são colocados em forma decimal):
P(+\mid D)=0,92,\quad P(D)=0,003,\quad P(+\mid D^c)=0,003,\quad P(D^c)=1-0,003=0,997.
Agora calculemos o numerador da fórmula de Bayes:
\text{numerador}=P(+\mid D)\,P(D)=0,92\times 0,003.

Passo 6

Fazendo a conta do numerador passo a passo (sem calculadora é só multiplicar):
0,92\times 0,003=0,00276.
Agora o denominador:
P(+)=0,92\times 0,003 + 0,003\times 0,997.
Calculamos a segunda parcela:
0,003\times 0,997=0,002991.

Passo 7

Somando as parcelas para obter P(+):
P(+)=0,00276+0,002991=0,005751.
Agora aplicamos a fórmula de Bayes:
P(D\mid +)=\frac{0,00276}{0,005751}.
Para facilitar a divisão sem muitos dígitos, podemos multiplicar numerador e denominador por 10^{6} (ou observar a fração equivalente):
P(D\mid +)=\frac{2760}{5751}\approx 0,4800\ldots
Arredondando com três casas decimais (mesma precisão das opções), obtemos aproximadamente 0,480.

Passo 8

Interpretação curta e incentivo: apesar do teste ser bastante sensível ( 92\%), a doença é rara ( 0,3\%), e há um falso positivo não desprezível ( 0,3\%). Por isso, mesmo com teste positivo, a probabilidade real de estar infectado fica em torno de 48\%. Isso mostra por que em exames de doenças raras é importante confirmar com testes adicionais. Você está mandando bem em seguir passo a passo — continue assim!

Resposta

(c) 0,480

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