(1 ponto) Considerando y=y(x), resolva a EDO abaixo:
x y(y+2)-(y+1) d yd x=0

Passo 1

O enunciado pede resolver a EDO
x,y(y+2);-;(y+1),dydx=0,
onde y=y(x). Essa é uma equação de variáveis separáveis: podemos agrupar tudo em y com dy de um lado e tudo em x com dx do outro.

Passo 2

Reescrevendo a EDO multiplicando ambos os lados por dx e isolando termos, obtemos
x,y(y+2),dx ;=;(y+1),dy
ou seja
y+1y(y+2),dy ;=; x,dx

Passo 3

Para integrar
Igualando numeradores:
logo (A=B=\tfrac12]. Assim

Passo 4

Agora integramos ambos os lados:
integral y+1y(y+2),dy = tfrac12integraldyy + tfrac12integraldyy+2 = tfrac12ln|y| + tfrac12ln|y+2|,
integral x,dx = tfracx^22
Logo
tfrac12ln|y| + tfrac12ln|y+2| = tfracx^22 + C Longrightarrow lnl|y(y+2)r| = x^2 + C'

Passo 5

Aplicando exponencial em ambos os lados:
|y(y+2)| = e^C',e^x^2 = K,e^x^2
Removendo o valor absoluto e absorvendo sinal em K, temos a solução geral
y(y+2) = C,e^x^2

Resposta

y(y+2) = C,e^x^2,
onde C é constante arbitrária.

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