1. (1 Ponto) 1) Considere um campo elétrico uniforme \vec{E}=\vec{E}_{0}, produzido por duas placas metálicas paralelas. Dentro da região delimitada por essas placas, é colocada uma esfera condutora descarregada e isolada. O raio da esfera, quando comparado com a distância entre as placas, é tal que ela não perturba a uniformidade do campo para regiões distantes da esfera, mas nas regiões próximas da esfera to uniformidade é afetada, havendo uma distorção das linhas do campo elétrico em pontos em torno da superfície da esfera.
    a) Qual é o potencial elétrico na região externa à esfera?
    b) Qual o momento de dipólo formado pelas cargas induzidas na superfície da esfera
    c) Qual o campo elétrico na região externa à esfera, escrito em coordenadas esféricas? (Note que esse campo contém duas parcelas: o campo provocado pelas placas carregadas e o campo provocado pela carga induzida na superfície da esfera)
    d) Obtenha a densidade de carga induzida e também a carga total induzida na superfície da esfera;
    e) Tente resolver esse problema pelo método das imagens eletrostáticas

Passo 1

O enunciado dá:
  • Um campo elétrico uniforme externo \vec{E}=\vec{E}_{0}. Vou escolher o eixo z tal que \vec{E}_{0}=E_{0}\,\hat{z} (isto é só uma escolha de eixo para simplificar).
  • Uma esfera condutora isolada, neutra, de raio a, colocada no interior da região de campo. A esfera é pequena o suficiente para não perturbar a uniformidade do campo longe dela, mas perturba o campo nas proximidades.
O que o enunciado pede:
a) O potencial elétrico na região externa à esfera (ou seja, para r\ge a).
b) O momento de dipólo formado pelas cargas induzidas na superfície da esfera.
c) O campo elétrico na região externa à esfera, escrito em coordenadas esféricas (r,\theta,\varphi).
d) A densidade de carga induzida \sigma(\theta) sobre a superfície e a carga total induzida.
e) Uma tentativa de resolver pelo método das imagens eletrostáticas (explicação/justificativa).
Repare que a geometria é axissimétrica em torno do eixo do campo ( z), portanto todas as grandezas dependem só de r e \theta e não de \varphi. Vou escolher a referência de potencial tal que o potencial na superfície condutora seja V(a,\theta)=0 (isso é permitido porque a esfera está isolada e só importa diferenças de potencial).

Passo 2

Estratégia matemática: a região externa à esfera é uma região livre de cargas (fora da superfície), logo o potencial aí satisfaz a equação de Laplace. Para um problema axissimétrico (dependência só em \theta), a solução geral externa pode ser escrita como uma expansão em polinômios de Legendre. Em particular, a condição no infinito é a de um campo uniforme:
V(r,\theta)\xrightarrow[r\to\infty]{} -E_0 r\cos\theta,
pois o potencial de um campo uniforme \vec{E}_0=E_0\hat z é V_{\infty}(\vec r)=-E_0 z=-E_0 r\cos\theta. A condição na superfície do condutor é V(a,\theta)=0.
A solução geral (axissimétrica) para r\ge a tem a forma
V(r,\theta)=\sum_{l=0}^{\infty}\left(A_l r^l + \frac{B_l}{r^{\,l+1}}\right)P_l(\cos\theta),
onde P_l são os polinômios de Legendre e A_l,B_l constantes a determinar. Agora vou usar as condições de contorno para selecionar os termos relevantes.

Passo 3

Determinação dos termos não nulos:
  • O termo que comporta o comportamento no infinito -E_0 r\cos\theta é um termo proporcional a r P_1(\cos\theta) (pois P_1(\cos\theta)=\cos\theta). Assim deve existir um coeficiente A_1=-E_0.
  • Não há fontes multipolares externas além do campo uniforme, então não aparecem termos com r^l para l\ge2. Portanto os A_l para l\ge2 são zero. Também o termo A_0 (constante multiplicando P_0) poderia ser incluído, mas como fixamos a potencial da superfície em zero e o comportamento no infinito já fixado, não é necessário introduzir A_0.
  • Os termos de ordem negativa B_l/r^{l+1} representam multipolos induzidos pela presença da esfera; a condição de contorno na superfície determinará quais B_l são não nulos. Pelo simetria do problema espera-se que apenas o termo dipolar ( l=1) apareça, porque o campo externo é dipolar (ordem 1) e a superfície é esférica: outros multipolos não são gerados.
Assim tomo a forma ansatz simples e suficiente
V(r,\theta) = -E_0 r\cos\theta + \frac{B_1}{r^{2}}\cos\theta,\qquad r\ge a,
com B_1 a determinar pela condição V(a,\theta)=0.
Impondo V(a,\theta)=0:
0 = -E_0 a\cos\theta + \frac{B_1}{a^{2}}\cos\theta \quad\Rightarrow\quad B_1 = E_0 a^{3}.
Portanto o potencial externo é
V(r,\theta)= -E_0 r\cos\theta + E_0\frac{a^{3}}{r^{2}}\cos\theta = -E_0\!\left(r-\frac{a^{3}}{r^{2}}\right)\cos\theta, \qquad r\ge a.

Passo 4

Interpretação física e cálculo do momento de dipólo:
A solução acima é a soma de dois termos:
  • -E_0 r\cos\theta: potencial do campo uniforme externo.
  • E_0\frac{a^{3}}{r^{2}}\cos\theta: potencial de um dipólo axial cujo potencial é \dfrac{p\cos\theta}{4\pi\varepsilon_0 r^{2}}.
Comparando o termo dipolar com a forma padrão do potencial de um dipólo, \displaystyle V_{\text{dip}}=\frac{p\cos\theta}{4\pi\varepsilon_0 r^{2}}, obtemos
\frac{p\cos\theta}{4\pi\varepsilon_0 r^{2}} = E_0\frac{a^{3}}{r^{2}}\cos\theta \quad\Rightarrow\quad p = 4\pi\varepsilon_0 a^{3} E_0.
O vetor momento de dipólo aponta na mesma direção do campo externo, portanto
\vec p = 4\pi\varepsilon_0 a^{3} E_0\,\hat z.
(Obs.: a presença do fator 4\pi\varepsilon_0 aparece porque relacionamos o coeficiente do potencial com a forma padrão do potencial dipolar.)

Passo 5

Cálculo do campo elétrico para r\ge a (coord. esféricas). O campo é \vec E = -\nabla V. Em componentes esféricas (para um potencial que depende só de r e \theta):
E_r = -\frac{\partial V}{\partial r},\qquad E_\theta = -\frac{1}{r}\frac{\partial V}{\partial\theta}.
Usando
V(r,\theta)= -E_0 r\cos\theta + E_0\frac{a^{3}}{r^{2}}\cos\theta,
calculo as derivadas:
Derivada em r:
\frac{\partial V}{\partial r} = -E_0\cos\theta - 2E_0\frac{a^{3}}{r^{3}}\cos\theta.
Logo
E_r = -\frac{\partial V}{\partial r} = E_0\cos\theta + 2E_0\frac{a^{3}}{r^{3}}\cos\theta = E_0\left(1+2\frac{a^{3}}{r^{3}}\right)\cos\theta.
Derivada em \theta:
\frac{\partial V}{\partial\theta} = -E_0 r(-\sin\theta) + E_0\frac{a^{3}}{r^{2}}(-\sin\theta) = E_0\sin\theta\left(r-\frac{a^{3}}{r^{2}}\right).
Então
E_\theta = -\frac{1}{r}\frac{\partial V}{\partial\theta} = -E_0\sin\theta + E_0\frac{a^{3}}{r^{3}}\sin\theta = E_0\left(-1+\frac{a^{3}}{r^{3}}\right)\sin\theta.
Portanto o campo externo em coordenadas esféricas (para r\ge a) é
\boxed{\displaystyle \vec E(r,\theta)=E_r\,\hat r + E_\theta\,\hat\theta =E_0\left(1+2\frac{a^{3}}{r^{3}}\right)\cos\theta\,\hat r +E_0\left(-1+\frac{a^{3}}{r^{3}}\right)\sin\theta\,\hat\theta.}
Nota: para r\to\infty recupera-se \vec E\to E_0\cos\theta\,\hat r - E_0\sin\theta\,\hat\theta = E_0\hat z, o campo uniforme.

Passo 6

Densidade de carga induzida e carga total:
A densidade superficial de carga induzida relaciona-se com o salto do campo normal na superfície. Como dentro do condutor o campo é nulo, tem-se (com n apontando radialmente para fora)
\sigma(\theta) = \varepsilon_0 E_{\text{out},n}\big|_{r=a} = \varepsilon_0 E_r(a,\theta).
Usando E_r(a,\theta)=E_0\left(1+2\frac{a^{3}}{a^{3}}\right)\cos\theta = 3E_{0}\cos\theta, obtemos
\boxed{\displaystyle \sigma(\theta)=3\varepsilon_0 E_0\cos\theta.}
Verificação da carga total induzida:
Q_{\text{ind}}=\int_{S}\sigma\,dA = \int_{0}^{2\pi}\!\int_{0}^{\pi} 3\varepsilon_0 E_0\cos\theta \, a^{2}\sin\theta\,d\theta\,d\varphi.
Calcule a integral angular:
\int_{0}^{\pi}\cos\theta\sin\theta\,d\theta = \left.\frac{1}{2}\sin^{2}\theta\right|_{0}^{\pi}=0,
logo
\boxed{Q_{\text{ind}}=0.}
Isto faz sentido físico: a esfera era neutra, apenas houve separação de cargas (dipolo) sem mudança da carga total.
Cálculo do momento de dipólo a partir de \sigma (verificação):
p_z=\int_{S} (a\cos\theta)\,\sigma(\theta)\,dA = a^{3}\,2\pi\int_{0}^{\pi} 3\varepsilon_0 E_0\cos^{2}\theta\sin\theta\,d\theta.
Fazendo a integral resulta p_z=4\pi\varepsilon_0 a^{3}E_0, que confirma o valor obtido antes.

Passo 7

Tentativa pelo método das imagens e justificativa:
O método das imagens normalmente substitui um condutor por cargas-espelho que reproduzem as condições de contorno. Para casos de condutores com superfícies simples (plano infinito, esfera isolada com uma carga externa específica), imagens pontuais explícitas existem. No nosso caso a condição no infinito é a presença de um campo uniforme (que pode ser visto como a aproximação de placas muito distantes), e a condição na superfície é V= constante.
A solução encontrada pode ser interpretada como a superposição de:
  • o potencial do campo uniforme externo (origem “lá fora”), e
  • o potencial de um dipólo pontual colocado no centro da esfera com momento \vec p = 4\pi\varepsilon_0 a^{3}E_0\,\hat z.
Colocar esse dipólo no centro é a construção equivalente de imagem que garante que o potencial sobre a esfera seja constante (a escolha de p foi exatamente a que anula o termo angular na superfície). Pela unicidade da solução de Laplace (com as condições de contorno dadas), essa construção é válida: a soma do potencial uniforme mais o potencial do dipólo central reproduz a solução física. Assim, embora não seja o clássico “carga imagem única” de um caso carga-próxima-a-esfera, a solução por “imagem” aqui corresponde a acrescentar um dipólo no centro cuja intensidade é ajustada para garantir V(a,\theta)= const. Esse é o modo prático de aplicar a ideia de imagens neste problema.

Passo 8

Resumo final de observações úteis para a prova (rápido):
  • A técnica chave é resolver Laplace com expansão em polinômios de Legendre e usar as condições V(a,\theta)= const e V\to -E_0 r\cos\theta no infinito.
  • Resultado físico importante: a esfera neutra desenvolve um dipólo induzido \vec p=4\pi\varepsilon_0 a^{3}E_0 e a densidade superficial é proporcional a \cos\theta.
  • Dentro da esfera V= constante e \vec E=0.

Resposta

a) \displaystyle V(r,\theta)= -E_{0}\!\left(r-\frac{a^{3}}{r^{2}}\right)\cos\theta,\quad r\ge a.
b) \displaystyle \vec p = 4\pi\varepsilon_{0}\,a^{3}E_{0}\,\hat z.
c) \displaystyle \vec E(r,\theta)=E_0\left(1+2\frac{a^{3}}{r^{3}}\right)\cos\theta\,\hat r + E_0\left(-1+\frac{a^{3}}{r^{3}}\right)\sin\theta\,\hat\theta,\quad r\ge a.
d) \displaystyle \sigma(\theta)=3\varepsilon_0 E_0\cos\theta\qquad\text{e}\qquad Q_{\text{ind}}=0.
e) Sim: pode-se reproduzir a solução por uma “imagem” na forma de um dipólo pontual no centro da esfera com \vec p acima; a unicidade da solução garante que a soma do potencial uniforme mais o potencial desse dipólo produz a mesma solução que obedece V(a,\theta)={\rm const}.

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