use os resultados do exercício indicado para provar que o valor da integral de linha dada é independente do caminho. Depois calcule a integral de linha aplicando o Teorema 19.3.1 ou o Teorema 19.3.2 e utilizando a função potencial determinada no exercício citado. Em cada exercício, C é qualquer curva lisa por partes que vai do ponto A ao ponto B.
\int_{C} e^{x} \operatorname{sen} y d x+e^{x} \cos y d y ; A é (0,0) e B é \left(2, \frac{1}{2} \pi\right); Exercício 3

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que pede (tudo retirado do enunciado):
  • A integral de linha é \displaystyle \int_{C} e^{x}\sin y\,dx + e^{x}\cos y\,dy.
  • O ponto inicial é A=(0,0) e o ponto final é B=\left(2,\tfrac{\pi}{2}\right).
  • A curva C é qualquer curva lisa por partes que vai de A a B.
  • O enunciado pede duas coisas:
    1. Provar que o valor da integral é independente do caminho (ou seja, depende apenas dos pontos A e B).
    2. Calcular a integral de linha usando o teorema apropriado (Teorema 19.3.1 ou 19.3.2) e utilizando a função potencial determinada (a função potencial que relaciona-se com esse campo vetorial).
Informações úteis extraídas do enunciado que usarei: a forma diferencial tem as componentes
P(x,y)=e^{x}\sin y,\qquad Q(x,y)=e^{x}\cos y.

Passo 2

Explicando a ideia que vou usar (passo a passo e bem didático): uma forma diferencial P\,dx+Q\,dy definida em uma região simplesmente conexa é independente do caminho (conservativa) se e somente se as derivadas parciais cruzadas coincidirem:
\frac{\partial P}{\partial y}=\frac{\partial Q}{\partial x}
em toda a região. Isso vem do fato de que, nessas condições, existe uma função potencial \varphi(x,y) tal que \nabla\varphi=(P,Q), e então a integral entre A e B é \varphi(B)-\varphi(A) (Teorema fundamental das integrais de linha / teorema sobre campos conservativos).
Vou calcular as derivadas parciais cruzadas para verificar a condição de exatidão.

Passo 3

Calculemos as derivadas parciais:
\frac{\partial P}{\partial y}=\frac{\partial}{\partial y}\bigl(e^{x}\sin y\bigr)=e^{x}\cos y,
\frac{\partial Q}{\partial x}=\frac{\partial}{\partial x}\bigl(e^{x}\cos y\bigr)=e^{x}\cos y.
Como \dfrac{\partial P}{\partial y}=\dfrac{\partial Q}{\partial x} para todos (x,y), a forma diferencial é exata em toda \mathbb{R}^{2}. Além disso, \mathbb{R}^{2} é simplesmente conexa, portanto existe uma função potencial global \varphi e a integral é independente do caminho: qualquer curva C de A a B dá o mesmo valor da integral. (Resumo prático para a prova: cheque as derivadas cruzadas; se iguais em região simplesmente conexa, o campo é conservativo.)

Passo 4

Agora vou determinar explicitamente a função potencial \varphi (isto também costuma ter sido feito no exercício citado). A função potencial satisfaz
\frac{\partial \varphi}{\partial x}=P(x,y)=e^{x}\sin y, \qquad \frac{\partial \varphi}{\partial y}=Q(x,y)=e^{x}\cos y.
Integro a primeira relação em relação a x, tratando y como constante:
\varphi(x,y)=\int e^{x}\sin y\,dx = e^{x}\sin y + h(y),
onde h(y) é uma função arbitrária de y (constante de integração em relação a x). Agora imponho a segunda igualdade: calcule \partial\varphi/\partial y e iguale a Q:
\frac{\partial \varphi}{\partial y}=e^{x}\cos y + h'(y).
Devemos ter \dfrac{\partial \varphi}{\partial y}=Q(x,y)=e^{x}\cos y. Assim
e^{x}\cos y + h'(y)=e^{x}\cos y \quad\Rightarrow\quad h'(y)=0.
Logo h(y) é constante. Posso escolher a constante 0 (qualquer constante só adiciona um deslocamento que cancela na diferença \varphi(B)-\varphi(A)). Assim uma função potencial conveniente é
\varphi(x,y)=e^{x}\sin y.
Verificação rápida: \phi_x=e^{x}\sin y=P e \phi_y=e^{x}\cos y=Q, perfeito.

Passo 5

Aplicando agora o Teorema fundamental para integrais de linha (Teorema 19.3.1/19.3.2: integral de um campo gradiente ao longo de C é \varphi(B)-\varphi(A)), obtemos
\int_{C} e^{x}\sin y\,dx + e^{x}\cos y\,dy = \varphi\bigl(B\bigr)-\varphi\bigl(A\bigr).
Calculemos \varphi nos pontos:
\varphi\!\left(2,\tfrac{\pi}{2}\right)=e^{2}\sin\!\left(\tfrac{\pi}{2}\right)=e^{2}\cdot 1 = e^{2},
\varphi(0,0)=e^{0}\sin 0=1\cdot 0=0.
Portanto
\int_{C} e^{x}\sin y\,dx + e^{x}\cos y\,dy = e^{2}-0 = e^{2}.

Resposta

e^{2}

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