use os resultados do exercício indicado para provar que o valor da integral de linha dada é independente do caminho. Depois calcule a integral de linha aplicando o Teorema 19.3.1 ou o Teorema 19.3.2 e utilizando a função potencial determinada no exercício citado. Em cada exercício,
é qualquer curva lisa por partes que vai do ponto
ao ponto
.
é
e
é
; Exercício 3
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que pede (tudo retirado do enunciado):
- A integral de linha é
. - O ponto inicial é
e o ponto final é . - A curva
é qualquer curva lisa por partes que vai de a . - O enunciado pede duas coisas:
- Provar que o valor da integral é independente do caminho (ou seja, depende apenas dos pontos
e ). - Calcular a integral de linha usando o teorema apropriado (Teorema 19.3.1 ou 19.3.2) e utilizando a função potencial determinada (a função potencial que relaciona-se com esse campo vetorial).
- Provar que o valor da integral é independente do caminho (ou seja, depende apenas dos pontos
Informações úteis extraídas do enunciado que usarei: a forma diferencial tem as componentes
Passo 2
Explicando a ideia que vou usar (passo a passo e bem didático): uma forma diferencial
definida em uma região simplesmente conexa é independente do caminho (conservativa) se e somente se as derivadas parciais cruzadas coincidirem:
em toda a região. Isso vem do fato de que, nessas condições, existe uma função potencial
tal que
, e então a integral entre
e
é
(Teorema fundamental das integrais de linha / teorema sobre campos conservativos).
Vou calcular as derivadas parciais cruzadas para verificar a condição de exatidão.
Passo 3
Calculemos as derivadas parciais:
Como
para todos
, a forma diferencial é exata em toda
. Além disso,
é simplesmente conexa, portanto existe uma função potencial global
e a integral é independente do caminho: qualquer curva
de
a
dá o mesmo valor da integral. (Resumo prático para a prova: cheque as derivadas cruzadas; se iguais em região simplesmente conexa, o campo é conservativo.)
Passo 4
Agora vou determinar explicitamente a função potencial
(isto também costuma ter sido feito no exercício citado). A função potencial satisfaz
Integro a primeira relação em relação a
, tratando
como constante:
onde
é uma função arbitrária de
(constante de integração em relação a
). Agora imponho a segunda igualdade: calcule
e iguale a
:
Devemos ter
. Assim
Logo
é constante. Posso escolher a constante
(qualquer constante só adiciona um deslocamento que cancela na diferença
). Assim uma função potencial conveniente é
Verificação rápida:
e
, perfeito.
Passo 5
Aplicando agora o Teorema fundamental para integrais de linha (Teorema 19.3.1/19.3.2: integral de um campo gradiente ao longo de
é
), obtemos
Calculemos
nos pontos:
Portanto