use os resultados do exercício indicado para provar que o valor da integral de linha dada é independente do caminho. Depois calcule a integral de linha aplicando o Teorema 19.3.1 ou o Teorema 19.3.2 e utilizando a função potencial determinada no exercício citado. Em cada exercício,
é qualquer curva lisa por partes que vai do ponto
ao ponto
.
;
é
e
é
; Exercício 6
Passo 1
O que o enunciado dá e o que pede:
- Dá o integral de linha
com
sendo qualquer curva lisa por partes que vai do ponto
até o ponto
.
- Dá os pontos
e . - Pede para provar que o valor da integral de linha é independente do caminho e, em seguida, calcular a integral usando o Teorema indicado e a função potencial determinada no exercício citado (Exercício 6).
Observação importante (retirada do exercício citado): a função potencial fornecida pelo Exercício 6 é
Também observar que, no enunciado, a notação
aparece dentro do expoente; a partir do resultado do Exercício 6 (e pela consistência com as derivadas abaixo) interpretamos
. Assim os termos com expoente são
.
Passo 2
Verificar se o campo é conservativo (igualdade das derivadas cruzadas).
- Identificamos as componentes do campo vetorial como
- Calculamos a derivada parcial de
em relação a . Usando a regra do produto e a regra da cadeia para (aqui é tratado como constante em relação a ):
- Calculamos a derivada parcial de
em relação a . Usando regra da cadeia para (aqui é tratado como constante em relação a ):
- Conclusão:
em todos os pontos do plano.
Passo 3
Argumento de independência do caminho (explicado de forma clara).
- O campo tem componentes
e com derivadas parciais contínuas em todo (porque polinômios e são ). - Além disso
é simplesmente conexo (não há “buracos”). - Teorema padrão: se num domínio simplesmente conexo as derivadas cruzadas satisfazem
e as parciais são contínuas, então o campo é conservativo, isto é, existe uma função potencial tal que . Como consequência a integral de linha entre dois pontos é independente do caminho. - Logo, a integral pedida é independente do caminho.
Passo 4
Verificação (rápida) de que a função potencial fornecida realmente gera o campo (mostrar por cálculo).
- Tomamos
(dado pelo Exercício 6). - Calculamos
e
- Portanto
, confirmando que é de fato uma função potencial do campo.
Passo 5
Aplicar o Teorema Fundamental das integrais de linha (Teorema 19.3.1/19.3.2) para calcular a integral.
- Como o campo é gradiente de
, para qualquer curva de a vale
- Calculamos
nos pontos dados: - Para
:
- Para
:
- Para
- Portanto a integral é
Passo 6
Resumo final e encorajamento.
- Mostramos que
em e que o domínio é simplesmente conexo, logo o campo é conservativo e a integral é independente do caminho. - Usando a função potencial fornecida no Exercício 6 e o Teorema Fundamental das integrais de linha, obtemos o valor numérico da integral entre
e .