use os resultados do exercício indicado para provar que o valor da integral de linha dada é independente do caminho. Depois calcule a integral de linha aplicando o Teorema 19.3.1 ou o Teorema 19.3.2 e utilizando a função potencial determinada no exercício citado. Em cada exercício, C é qualquer curva lisa por partes que vai do ponto A ao ponto B.
\int_{C}\left(3 x^{2}+2 y-y^{2} e^{r}\right) d x+\left(2 x-2 y e^{r}\right) d y; A é (0,2) e B é (1,-3); Exercício 6

Passo 1

O que o enunciado dá e o que pede:
  • Dá o integral de linha
\int_{C}\left(3 x^{2}+2 y-y^{2} e^{r}\right)\,d x+\left(2 x-2 y e^{r}\right)\,d y,
com C sendo qualquer curva lisa por partes que vai do ponto A até o ponto B.
  • Dá os pontos A=(0,2) e B=(1,-3).
  • Pede para provar que o valor da integral de linha é independente do caminho e, em seguida, calcular a integral usando o Teorema indicado e a função potencial determinada no exercício citado (Exercício 6).
Observação importante (retirada do exercício citado): a função potencial fornecida pelo Exercício 6 é
\varphi(x,y)=x^{3}+2xy-y^{2}e^{x}.
Também observar que, no enunciado, a notação r aparece dentro do expoente; a partir do resultado do Exercício 6 (e pela consistência com as derivadas abaixo) interpretamos r=x. Assim os termos com expoente são e^{x}.

Passo 2

Verificar se o campo é conservativo (igualdade das derivadas cruzadas).
  • Identificamos as componentes do campo vetorial como
P(x,y)=3x^{2}+2y-y^{2}e^{x}, \qquad Q(x,y)=2x-2y e^{x}.
  • Calculamos a derivada parcial de P em relação a y. Usando a regra do produto e a regra da cadeia para y^{2}e^{x} (aqui e^{x} é tratado como constante em relação a y):
\frac{\partial P}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y}\big(3x^{2}\big)+\frac{\partial}{\partial y}\big(2y\big)-\frac{\partial}{\partial y}\big(y^{2}e^{x}\big) = 0 + 2 - \big(2y e^{x}\big) = 2-2y e^{x}.
  • Calculamos a derivada parcial de Q em relação a x. Usando regra da cadeia para 2y e^{x} (aqui y é tratado como constante em relação a x):
\frac{\partial Q}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x}\big(2x\big)-\frac{\partial}{\partial x}\big(2y e^{x}\big) = 2 - \big(2y e^{x}\big) = 2-2y e^{x}.
  • Conclusão: \dfrac{\partial P}{\partial y}=\dfrac{\partial Q}{\partial x} em todos os pontos do plano.

Passo 3

Argumento de independência do caminho (explicado de forma clara).
  • O campo tem componentes P e Q com derivadas parciais contínuas em todo \mathbb{R}^{2} (porque polinômios e e^{x} são C^{\infty}).
  • Além disso \mathbb{R}^{2} é simplesmente conexo (não há “buracos”).
  • Teorema padrão: se num domínio simplesmente conexo as derivadas cruzadas satisfazem \partial P/\partial y=\partial Q/\partial x e as parciais são contínuas, então o campo é conservativo, isto é, existe uma função potencial \varphi tal que \nabla\varphi=(P,Q). Como consequência a integral de linha entre dois pontos é independente do caminho.
  • Logo, a integral pedida é independente do caminho.

Passo 4

Verificação (rápida) de que a função potencial fornecida realmente gera o campo (mostrar por cálculo).
  • Tomamos \varphi(x,y)=x^{3}+2xy-y^{2}e^{x} (dado pelo Exercício 6).
  • Calculamos
\frac{\partial \varphi}{\partial x}=3x^{2}+2y-y^{2}e^{x}=P(x,y),
e
\frac{\partial \varphi}{\partial y}=2x-2y e^{x}=Q(x,y).
  • Portanto \nabla\varphi=(P,Q), confirmando que \varphi é de fato uma função potencial do campo.

Passo 5

Aplicar o Teorema Fundamental das integrais de linha (Teorema 19.3.1/19.3.2) para calcular a integral.
  • Como o campo é gradiente de \varphi, para qualquer curva C de A a B vale
\int_{C}P\,dx+Q\,dy=\varphi(B)-\varphi(A).
  • Calculamos \varphi nos pontos dados:
    • Para B=(1,-3):
    \varphi(1,-3)=1^{3}+2\cdot1\cdot(-3)-(-3)^{2}e^{1} =1-6-9e=-5-9e.
    • Para A=(0,2):
    \varphi(0,2)=0^{3}+2\cdot0\cdot2-(2)^{2}e^{0}=0+0-4\cdot1=-4.
  • Portanto a integral é
\varphi(B)-\varphi(A)=\big(-5-9e\big)-\big(-4\big)=-1-9e.

Passo 6

Resumo final e encorajamento.
  • Mostramos que \dfrac{\partial P}{\partial y}=\dfrac{\partial Q}{\partial x} em \mathbb{R}^{2} e que o domínio é simplesmente conexo, logo o campo é conservativo e a integral é independente do caminho.
  • Usando a função potencial fornecida no Exercício 6 e o Teorema Fundamental das integrais de linha, obtemos o valor numérico da integral entre A e B.

Resposta

-1-9e

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