Uma bola é lançada verticalmente para cima a partir do solo com velocidade escalar de 29,4 \mathrm{~m} / \mathrm{s}.
Dado: \mathrm{g}=9,8 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^{2}
a) Quanto tempo ela demora para alcançar o ponto mais alto?
b) Qual a altura do ponto mais alto em relação ao solo?

Passo 1

O enunciado pede duas coisas:
  1. (a) Quanto tempo a bola demora para alcançar o ponto mais alto?
  2. (b) Qual a altura do ponto mais alto em relação ao solo?
Informações dadas:
v_0 = 29,4\\ \mathrm{m/s}
g = 9,8\\ \mathrm{m/s^2}
Pontos importantes que o enunciado fornece implicitamente: a bola é lançada a partir do solo (logo a posição inicial é zero) e o movimento vertical está sujeito à aceleração da gravidade. Não resolvo nada ainda — apenas listei o que foi dado e o que é pedido.

Passo 2

Vamos organizar as variáveis e as fórmulas que vamos usar (explicando cada coisa, devagarinho):
  • v_0 é a velocidade inicial da bola no instante t=0. Está para cima, então tomamos v_0>0.
  • a é a aceleração do movimento. Como a gravidade puxa para baixo, com convenção “para cima positivo” temos
a = -g = -9,8\\ \mathrm{m/s^2}.
  • v(t) é a velocidade instantânea no tempo t.
  • y(t) é a posição vertical no tempo t. Como a bola parte do solo, tomamos y(0)=0.
Duas fórmulas fundamentais do movimento com aceleração constante (vamos usá‑las e eu explico cada termo):
  1. Equação da velocidade:
v(t) = v_0 + a\,t,
onde v(t) é a velocidade no tempo t, v_0 é a velocidade inicial e a é a aceleração constante.
2. Equação da posição:
y(t) = y_0 + v_0 t + \tfrac{1}{2} a t^2,
onde y_0 é a posição inicial (aqui y_0=0), v_0 t é a contribuição da velocidade inicial e \tfrac{1}{2} a t^2 é a contribuição da aceleração ao deslocamento.
No ponto mais alto a velocidade instantânea é zero (a bola para momentaneamente antes de descer). Isso é um fato físico importante que vamos usar.

Passo 3

Calculando o tempo até o ponto mais alto (parte (a)).
Condição no ponto mais alto: v(t_{\text{top}})=0.
Usamos a equação da velocidade:
0 = v_0 + a\,t_{\text{top}}.
Isolando t_{\text{top}}:
t_{\text{top}} = -\frac{v_0}{a}.
Lembre que a=-g, então
t_{\text{top}} = -\frac{v_0}{-g} = \frac{v_0}{g}.
Agora substituímos os valores numéricos (mostrando a conta):
t_{\text{top}} = \frac{29,4}{9,8}.
Dividindo: 29{,}4 \div 9{,}8 = 3{,}0. Logo
t_{\text{top}} = 3{,}0\\ \mathrm{s}.
Interpretação: leva 3 segundos para a velocidade cair de 29{,}4\\ \mathrm{m/s} até zero sob uma desaceleração de 9{,}8\\ \mathrm{m/s^2}. Dá um respiro!

Passo 4

Agora calculamos a altura máxima (parte (b)). Vou usar a equação da posição com y_0=0:
y(t) = v_0 t + \tfrac{1}{2} a t^2.
Substituímos t=t_{\text{top}} e a=-g:
y_{\text{top}} = v_0 t_{\text{top}} + \tfrac{1}{2}(-g) t_{\text{top}}^2.
Podemos usar o t_{\text{top}}= \dfrac{v_0}{g} obtido antes ou simplesmente usar o valor numérico 3{,}0\\ \mathrm{s}. Vou mostrar as duas formas (ajuda a entender a fórmula):
Forma com t_{\text{top}} simbólico:
y_{\text{top}} = v_0\left(\frac{v_0}{g}\right) - \tfrac{1}{2} g \left(\frac{v_0}{g}\right)^2 = \frac{v_0^2}{g} - \frac{1}{2}\frac{v_0^2}{g} = \frac{1}{2}\frac{v_0^2}{g}.
Essa é uma fórmula útil e compacta: a altura máxima é \dfrac{v_0^2}{2g}. Aqui v_0 é a velocidade inicial em m/s e g a gravidade em m/s^2, então a unidade resulta em metros.
Forma numérica direta (mais explícita passo a passo) usando t_{\text{top}}=3{,}0\\ \mathrm{s}:
Calcule os termos:
v_0 t_{\text{top}} = 29{,}4 \times 3{,}0 = 88{,}2\\ \mathrm{m},
\tfrac{1}{2} g t_{\text{top}}^2 = \tfrac{1}{2}\times 9{,}8 \times (3{,}0)^2 = 0{,}5 \times 9{,}8 \times 9 = 44{,}1\\ \mathrm{m}.
Como o termo da aceleração entra com sinal negativo (a gravidade reduz o deslocamento para cima), temos
y_{\text{top}} = 88{,}2 - 44{,}1 = 44{,}1\\ \mathrm{m}.
Confere com a fórmula compacta:
\frac{v_0^2}{2g} = \frac{(29{,}4)^2}{2\times 9{,}8} = \frac{864{,}36}{19{,}6} = 44{,}1\\ \mathrm{m}.

Passo 5

Pequeno resumo físico para fixar: a bola sobe durante 3{,}0\\ \mathrm{s} até parar momentaneamente; nesse instante ela está a 44{,}1\\ \mathrm{m} acima do solo. Essas respostas são coerentes entre si e com a sensação física (velocidade inicial razoável -> altura de algumas dezenas de metros).

Resposta

(a) 3{,}0\\ \mathrm{s}
(b) 44{,}1\\ \mathrm{m}

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