(1 ponto) Considere o espaço vetorial V=P3(R) sobre R e p0 o polinômio nulo. Verifique que o conjunto W=p in V mid p^prime prime+3 p=p0 é um subespaço vetorial de V.
  • p0 in W pois p0^prime prime+3 p0=0+0=0.
  • Se p e q in W então p^prime prime+3 p=p0 e q^prime prime+3 q=p0. Logo, (p+q)^prime prime+3(p+q)= p^prime prime+3 p+q^prime prime+3 q=p0+p0=p0.
  • Se lambda in R e p in W então p^prime prime+3 p=p0. Logo, (lambda p)^prime prime+3(lambda p)=lambda(p^prime prime+3 p)=lambda p0= p0.
Logo, W é um subespaço de V.

Passo 1

O enunciado define o espaço vetorial V=P3(R) de todos os polinômios reais de grau <=3 e o subconjunto
W = ,pin V mid p'' + 3p = p0,
onde p0 é o polinômio nulo. Queremos mostrar que W é subespaço de V. Para isso, usamos o teste de subespaço:
1. p0in W;
2. se p,qin W então p+qin W;
3. se lambdainR e pin W então lambda pin W.

Passo 2

Verificamos que o polinômio nulo p0 pertence a W. Como p0(x)=0 para todo x, segue
p0''(x) + 3,p0(x) = 0 + 3cdot 0 = 0 = p0(x),
logo p0in W.

Passo 3

Mostramos que W é fechado sob soma. Sejam p,qin W. Então
p'' + 3p = p0, q'' + 3q = p0
Somando as duas igualdades obtemos
(p+q)'' + 3,(p+q) = p'' + q'' + 3p + 3q = (p''+3p) + (q''+3q) = p0 + p0 = p0,
o que mostra (p+q)in W.

Passo 4

Mostramos que W é fechado sob multiplicação escalar. Seja lambdainR e pin W. Então
p'' + 3p = p0
Multiplicando por lambda em ambos os lados:
(lambda p)'' + 3(lambda p) = lambda,p'' + 3lambda,p = lambda,(p'' + 3p) = lambda,p0 = p0,
pois lambda,p0=p0. Assim lambda pin W.

Resposta

Como W contém o vetor zero, é fechado sob soma e sob produto por escalar, concluímos que W é subespaço de V.

Exercícios relacionados