(1 ponto) Considere o espaço vetorial
sobre
e
o polinômio nulo. Verifique que o conjunto
é um subespaço vetorial de
.
-
pois
.
- Se
e
então
e
. Logo,
.
- Se
e
então
. Logo,
.
Logo,
é um subespaço de
.
Passo 1
O enunciado define o espaço vetorial
de todos os polinômios reais de grau
e o subconjunto
onde
é o polinômio nulo. Queremos mostrar que
é subespaço de
. Para isso, usamos o teste de subespaço:
.
;
. se
então
;
. se
e
então
.
Passo 2
Verificamos que o polinômio nulo
pertence a
. Como
para todo
, segue
logo
.
Passo 3
Mostramos que
é fechado sob soma. Sejam
. Então
Somando as duas igualdades obtemos
o que mostra
.
Passo 4
Mostramos que
é fechado sob multiplicação escalar. Seja
e
. Então
Multiplicando por
em ambos os lados:
pois
. Assim
.
Resposta
Como
contém o vetor zero, é fechado sob soma e sob produto por escalar, concluímos que
é subespaço de
.