(2 pontos) Considere as matrizes A=[cccc1 & -2 & 1 & 1 2 & -1 & 2 & -1] e B=[ccc2 & 1 & 1 1 & 0 & 1 1 & -1 & 2 1 & -1 & 1]. Determine a dimensão de cada subespaço abaixo:
(a) V=Nul(A) :
(b) W=Col(B) :
(c) V cap W :
(d) V+W :

Passo 1

O enunciado pede a dimensão dos subespaços de R^4:
V=Nul(A) com Ain R^2times4 e
W=Col(B) com Bin R^4times3.
Vamos usar o Teorema da Dimensão (rank–nullity) para Nul(A), o cálculo de posto para Col(B) e depois fórmulas de dimensão para Vcap W e V+W.

Passo 2

Calcular dim V=dimNul(A).
A matriz
A= 1 & -2 & 1 & 1 2 & -1 & 2 & -1
tem posto rank(A)=2 (as linhas são independentes).
Pelo Teorema do Posto-Nulidade,
dimNul(A)=n-rank(A)=4-2=2

Passo 3

Calcular dim W=dimCol(B).
A matriz
B= 2 & 1 & 1 1 & 0 & 1 1 & -1 & 2 1 & -1 & 1
tem posto rank(B)=3 (por eliminação gaussiana aparecem três pivôs).
Logo
dimCol(B)=3

Passo 4

Determinar uma base de .
Resolvendo obtemos, com parâmetros e ,
Assim uma base de é
.

Passo 5

Uma base de W=Col(B) é dada pelas colunas pivot de B, por exemplo
c1,c2,c3 com
c1=(2,1,1,1)^T, c2=(1,0,-1,-1)^T, c3=(1,1,2,1)^T

Passo 6

Calcular dim(Vcap W).
Procuramos alpha,beta tais que
alpha v1+beta v2in W.
Isso leva a um sistema que impõe beta=0 e deixa alpha livre.
Logo
Vcap W=spanv1,
portanto dim(Vcap W)=1.

Passo 7

Calcular dim(V+W).
Pelo Teorema de Grassmann,
dim(V+W)=dim V+dim W-dim(Vcap W) =2+3-1=4

Resposta

(a) 2
(b) 3
(c) 1
(d) 4

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