Considere a matriz A=[ll2 & 1 4 & 3]. Determine todas as matrizes B=[ccx & y z & w] que comutam com A.

Passo 1

O enunciado dá a matriz
e pede todas as matrizes
que comutam com , ou seja, que satisfaçam
O conteúdo que vamos usar é simplesmente a multiplicação de matrizes e a condição , que gera um sistema de equações lineares entre .

Passo 2

Vamos calcular .

Passo 3

Agora calculamos .

Passo 4

Impondo AB=BA igualamos as quatro entradas correspondentes:
  1. Entrada (1,1):
2x + z = 2x + 4y Longrightarrow z = 4y
  1. Entrada (1,2):
2y + w = x + 3y Longrightarrow w = x + y
As outras duas entradas dão as mesmas relações z=4y e w=x+y, sem gerar equações novas.

Passo 5

Portanto a forma geral de B é
B = x & y 4y & x+y ,
onde x e y são parâmetros reais arbitrários.

Resposta

Todas as matrizes que comutam com A são
B = x & y 4y & x+y ,
com x,yinR.

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