(1 ponto) Considere a função F:(0, \infty) \rightarrow \mathbb{R}, dada por F(x)=\int_{0}^{\infty} t^{x} e^{-t} d t. Mostre que F(x+1)=(x+1) \cdot F(x), para todo número real x>0, e conclua, utilizando indução, que n!=F(n), para cada número inteiro n>0.

Passo 1

O enunciado dá a função F:(0,\infty)\to\mathbb{R} definida por
F(x)=\int_{0}^{\infty} t^{x} e^{-t}\,dt,
para todo x>0. Pede-se duas coisas:
  1. Mostrar que \displaystyle F(x+1)=(x+1)\cdot F(x) para todo x>0.
  2. Concluir, por indução, que \displaystyle n!=F(n) para cada inteiro n>0.
As informações relevantes são a fórmula integral de F(x) e a condição x>0. A resolução começa a seguir.

Passo 2

Vamos provar a relação de recorrência usando integração por partes aplicada à integral imprópria que define F(x+1). A fórmula de integração por partes diz que, se u=u(t) e v=v(t) são funções com derivadas apropriadas, então
\int_{a}^{b} u\,dv = \bigl[u v\bigr]_{a}^{b} - \int_{a}^{b} v\,du.
Aqui vamos aplicar essa fórmula ao intervalo [0,\infty) (isto é, como integral imprópria), escolhendo
u(t)=t^{x+1}\quad\text{e}\quad dv=e^{-t}\,dt.
Então calculamos as derivadas/antiderivadas:
du=(x+1)t^{x}\,dt\quad\text{e}\quad v=-e^{-t}.

Passo 3

Aplicando integração por partes à integral
F(x+1)=\int_{0}^{\infty} t^{x+1} e^{-t}\,dt
obtemos
F(x+1)=\bigl[-t^{x+1} e^{-t}\bigr]_{0}^{\infty} + \int_{0}^{\infty} (x+1)t^{x} e^{-t}\,dt.
O segundo termo é simplesmente (x+1)F(x). Resta analisar o termo de fronteira \bigl[-t^{x+1} e^{-t}\bigr]_{0}^{\infty} e mostrar que é zero.

Passo 4

Mostramos que \lim_{t\to\infty} t^{x+1} e^{-t}=0. Uma maneira clara é tomar o logaritmo:
\ln\bigl(t^{x+1} e^{-t}\bigr)=(x+1)\ln t - t.
Quando t\to\infty a expressão (x+1)\ln t - t tende a -\infty porque t cresce muito mais rápido que \ln t. Logo \ln\bigl(t^{x+1} e^{-t}\bigr)\to -\infty, o que implica t^{x+1} e^{-t}\to 0. Para t\to 0^{+} temos t^{x+1} e^{-t}\to 0 também, pois x+1>0 e t^{x+1}\to 0. Portanto o termo de fronteira vale zero:
\bigl[-t^{x+1} e^{-t}\bigr]_{0}^{\infty}=0-0=0.

Passo 5

Com isso voltamos à expressão do Passo 3 e obtemos a relação desejada:
F(x+1)=(x+1)\int_{0}^{\infty} t^{x} e^{-t}\,dt=(x+1)F(x),
válida para todo x>0.

Passo 6

Agora calculamos F(1) para iniciar a indução sobre inteiros positivos:
F(1)=\int_{0}^{\infty} t e^{-t}\,dt.
Novamente usamos integração por partes com u=t, dv=e^{-t}dt, então du=dt, v=-e^{-t}, e
F(1)=\bigl[-t e^{-t}\bigr]_{0}^{\infty} + \int_{0}^{\infty} e^{-t}\,dt.
Como \lim_{t\to\infty} t e^{-t}=0 e \lim_{t\to 0^{+}} t e^{-t}=0, o termo de fronteira é zero, e a integral restante é
\int_{0}^{\infty} e^{-t}\,dt = \bigl[-e^{-t}\bigr]_{0}^{\infty}=1.
Portanto F(1)=1, isto é F(1)=1!=1.

Passo 7

Fazemos a prova por indução sobre n\in\mathbb{Z}_{>0}.
Base: já vimos que F(1)=1!=1.
Passo indutivo: suponha que para algum inteiro k\ge 1 valha F(k)=k!. Como a relação de recorrência vale para todo real x>0, em particular para x=k, temos
F(k+1)=(k+1)\,F(k)=(k+1)\,k!=(k+1)!.
Isso completa o passo indutivo.

Passo 8

Concluímos que, para todo inteiro n>0, vale F(n)=n!, por indução a partir de n=1 usando a relação de recorrência provada.

Resposta

\displaystyle F(x+1)=(x+1)F(x) para todo x>0.
\displaystyle F(n)=n! para todo inteiro n>0.

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