(1 ponto) Considere a função
, dada por
. Mostre que
, para todo número real
, e conclua, utilizando indução, que
, para cada número inteiro
.
Passo 1
O enunciado dá a função
definida por
para todo
. Pede-se duas coisas:
- Mostrar que
para todo . - Concluir, por indução, que
para cada inteiro .
As informações relevantes são a fórmula integral de
e a condição
. A resolução começa a seguir.
Passo 2
Vamos provar a relação de recorrência usando integração por partes aplicada à integral imprópria que define
. A fórmula de integração por partes diz que, se
e
são funções com derivadas apropriadas, então
Aqui vamos aplicar essa fórmula ao intervalo
(isto é, como integral imprópria), escolhendo
Então calculamos as derivadas/antiderivadas:
Passo 3
Aplicando integração por partes à integral
obtemos
O segundo termo é simplesmente
. Resta analisar o termo de fronteira
e mostrar que é zero.
Passo 4
Mostramos que
. Uma maneira clara é tomar o logaritmo:
Quando
a expressão
tende a
porque
cresce muito mais rápido que
. Logo
, o que implica
. Para
temos
também, pois
e
. Portanto o termo de fronteira vale zero:
Passo 5
Com isso voltamos à expressão do Passo 3 e obtemos a relação desejada:
válida para todo
.
Passo 6
Agora calculamos
para iniciar a indução sobre inteiros positivos:
Novamente usamos integração por partes com
,
, então
,
, e
Como
e
, o termo de fronteira é zero, e a integral restante é
Portanto
, isto é
.
Passo 7
Fazemos a prova por indução sobre
.
Base: já vimos que
.
Passo indutivo: suponha que para algum inteiro
valha
. Como a relação de recorrência vale para todo real
, em particular para
, temos
Isso completa o passo indutivo.
Passo 8
Concluímos que, para todo inteiro
, vale
, por indução a partir de
usando a relação de recorrência provada.