Seja f:[1,3] \rightarrow \mathbb{R}, dada por f(x)=\frac{2}{3} x^{3 / 2}. Calcule
o volume do sólido gerado pela rotação em torno do eixo x da região limitadas pelas curvas y=f(x), y=0, x=1 e x=3.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede uma coisa clara.
  • Função: f:[1,3]\to\mathbb{R} dada por f(x)=\dfrac{2}{3}x^{3/2}.
  • Região considerada: a região no plano limitada por y=f(x), y=0, x=1 e x=3.
  • Eixo de rotação: rotação dessa região em torno do eixo x.
  • Pedido: calcular o volume do sólido gerado por essa rotação.
Dados importantes a notar (vou só listar, sem resolver aqui): f(x) é não negativa no intervalo [1,3] porque x^{3/2}>0 para x>0. Isso garante que, ao girar em torno do eixo x, obtemos discos (sem “buraco” interno).

Passo 2

Ideia do método (intuição passo a passo, sem jargão): quando rodamos a região limitada por y=f(x) e y=0 em torno do eixo x, em cada posição x um pedaço muito fino da região gera um disco de raio y=f(x) e espessura dx. O volume desse disco fino é área da base vezes altura.
  • Área da base (círculo) é \pi \times (\text{raio})^2 = \pi [f(x)]^2.
  • Volume de um disco fino: dV=\pi [f(x)]^2\,dx.
Somando (integrando) esses discos de x=1 até x=3 obtemos o volume total:
V=\int_{1}^{3} \pi [f(x)]^2\,dx.
Esse procedimento é chamado método dos discos (ou método dos cilindros de espessura infinitesimal).

Passo 3

Aplicando a fórmula ao nosso f(x). Substituímos f(x)=\dfrac{2}{3}x^{3/2} na integral:
V=\pi\int_{1}^{3}\left(\dfrac{2}{3}x^{3/2}\right)^{2}dx.
Antes de integrar, simplificamos o integrando.

Passo 4

Calculando o quadrado de f(x). Primeiro, \left(x^{3/2}\right)^2 = x^{3} porque multiplicamos expoentes: \dfrac{3}{2}\times 2=3. E \left(\dfrac{2}{3}\right)^2=\dfrac{4}{9}. Portanto
\left(\dfrac{2}{3}x^{3/2}\right)^{2} = \dfrac{4}{9}x^{3}.
Substituindo na integral:
V=\pi\int_{1}^{3}\dfrac{4}{9}x^{3}\,dx.

Passo 5

Fatoramos constantes para fora da integral para ficar mais limpo:
V=\pi\cdot\dfrac{4}{9}\int_{1}^{3}x^{3}\,dx.
Agora calculamos a antiderivada de x^{3}. A regra básica de integração é: \displaystyle\int x^{n}\,dx=\dfrac{x^{n+1}}{n+1}+C para n\neq -1. Aqui n=3, então
\int x^{3}\,dx = \dfrac{x^{4}}{4}.

Passo 6

Avaliaremos a integral definida entre x=1 e x=3:
\int_{1}^{3}x^{3}\,dx = \left.\dfrac{x^{4}}{4}\right|_{1}^{3} = \dfrac{3^{4}}{4}-\dfrac{1^{4}}{4}.
Calcule os números:
3^{4}=81,\qquad 1^{4}=1,
portanto
\int_{1}^{3}x^{3}\,dx = \dfrac{81}{4}-\dfrac{1}{4}=\dfrac{80}{4}=20.
Voltando para o volume:
V=\pi\cdot\dfrac{4}{9}\cdot 20.

Passo 7

Finalize a multiplicação:
\dfrac{4}{9}\cdot 20 = \dfrac{80}{9}.
Logo
V=\dfrac{80}{9}\pi.
Isso é o volume exato do sólido obtido pela rotação. Força aí — o resultado é simples e fica bonito: \dfrac{80}{9}\pi.

Resposta

\dfrac{80}{9}\pi

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