Seja f:[1,3] \rightarrow \mathbb{R}, dada por f(x)=\frac{2}{3} x^{3 / 2}. Calcule
o volume do sólido gerado pela rotação em torno do eixo x da região limitadas pelas curvas y=f(x), y=0, x=1 e x=3.
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede uma coisa clara.
Função: f:[1,3]\to\mathbb{R} dada por f(x)=\dfrac{2}{3}x^{3/2}.
Região considerada: a região no plano limitada por y=f(x), y=0, x=1 e x=3.
Eixo de rotação: rotação dessa região em torno do eixo x.
Pedido: calcular o volume do sólido gerado por essa rotação.
Dados importantes a notar (vou só listar, sem resolver aqui): f(x) é não negativa no intervalo [1,3] porque x^{3/2}>0 para x>0. Isso garante que, ao girar em torno do eixo x, obtemos discos (sem “buraco” interno).
Passo 2
Ideia do método (intuição passo a passo, sem jargão): quando rodamos a região limitada por y=f(x) e y=0 em torno do eixo x, em cada posição x um pedaço muito fino da região gera um disco de raio y=f(x) e espessura dx. O volume desse disco fino é área da base vezes altura.
Área da base (círculo) é \pi \times (\text{raio})^2 = \pi [f(x)]^2.
Volume de um disco fino: dV=\pi [f(x)]^2\,dx.
Somando (integrando) esses discos de x=1 até x=3 obtemos o volume total:
V=\int_{1}^{3} \pi [f(x)]^2\,dx.
Esse procedimento é chamado método dos discos (ou método dos cilindros de espessura infinitesimal).
Passo 3
Aplicando a fórmula ao nosso f(x). Substituímos f(x)=\dfrac{2}{3}x^{3/2} na integral:
Calculando o quadrado de f(x). Primeiro, \left(x^{3/2}\right)^2 = x^{3} porque multiplicamos expoentes: \dfrac{3}{2}\times 2=3. E \left(\dfrac{2}{3}\right)^2=\dfrac{4}{9}. Portanto
Fatoramos constantes para fora da integral para ficar mais limpo:
V=\pi\cdot\dfrac{4}{9}\int_{1}^{3}x^{3}\,dx.
Agora calculamos a antiderivada de x^{3}. A regra básica de integração é: \displaystyle\int x^{n}\,dx=\dfrac{x^{n+1}}{n+1}+C para n\neq -1. Aqui n=3, então