( 1,0 ponto) Utilize o Teorema do Confronto para calcular
.
Passo 1
O enunciado pede para calcular o seguinte limite quando
tende a
:
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
Observação útil (tirada do próprio enunciado): o denominador
nunca é zero (pois
e
), logo o argumento da seno está bem definido para todo
. O que nos pedem explicitamente é o valor do limite acima quando
.
Passo 2
Apresento aqui o Teorema do Confronto (também chamado Teorema do Aperto ou Squeeze Theorem), em forma prática que vamos usar.
Enunciado do teorema:
sejam funções ,
e
definidas numa vizinhança de
(exceto talvez em
) e tais que, para
próximos de
,
sejam funções
Se
então
Intuição rápida (sem formalidade pesada): se uma função fica “espremida” entre duas que têm o mesmo limite
, ela também tem esse limite
.
Vou usar esse teorema porque a função
é limitada (fica entre
e
), e multiplicando essa função limitada por
(que tende a
) podemos “espremer” a expressão entre duas funções cujo limite é
.
Passo 3
Propriedade trigonométrica que usamos (fato básico de trigonometria):
para todo número real vale
para todo número real
Aqui o argumento do seno é
, mas a desigualdade acima vale para qualquer
. Então, substituindo
pelo nosso argumento, obtemos
Passo 4
Multiplicamos a desigualdade do Passo 3 por
. Atenção:
para todo
, então a direção das desigualdades não se inverte ao multiplicar. Assim temos, para todo
,
Essa é exatamente a situação de “confronto”: a função cujo limite queremos está entre
e
.
Passo 5
Calculamos os limites das funções que fazem as fronteiras:
e
Ambos são óbvios porque
tende a
quando
; o negativo também tende a
.
Passo 6
Aplicando o Teorema do Confronto (Passo 2) às desigualdades obtidas no Passo 4 e aos limites do Passo 5, concluímos que
Passo 7
Comentário amigável para a prova: uma técnica padrão é procurar fatores que tendem a zero (aqui
) multiplicando uma função limitada (aqui
). Sempre que você tiver algo como
com
, o limite tende a
. Um exemplo clássico parecido é
.