( 1,0 ponto) Utilize o Teorema do Confronto para calcular \lim _{x \rightarrow 0}\left[x^{2} \cdot \operatorname{sen}\left(\frac{\pi x}{x^{4}+3}\right)\right].

Passo 1

O enunciado pede para calcular o seguinte limite quando x tende a 0:
\lim_{x\rightarrow 0}\left[x^{2}\cdot \operatorname{sen}\!\left(\frac{\pi x}{x^{4}+3}\right)\right].
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
\text{função } f(x)=x^{2}\cdot \operatorname{sen}\!\left(\frac{\pi x}{x^{4}+3}\right).çã
Observação útil (tirada do próprio enunciado): o denominador x^{4}+3 nunca é zero (pois x^{4}\ge 0 e x^{4}+3\ge 3), logo o argumento da seno está bem definido para todo x. O que nos pedem explicitamente é o valor do limite acima quando x\to 0.

Passo 2

Apresento aqui o Teorema do Confronto (também chamado Teorema do Aperto ou Squeeze Theorem), em forma prática que vamos usar.
Enunciado do teorema:
sejam funções g(x), f(x) e h(x) definidas numa vizinhança de a (exceto talvez em a) e tais que, para x próximos de a,
g(x)\le f(x)\le h(x).
Se
\lim_{x\to a} g(x)=\lim_{x\to a} h(x)=L,
então
\lim_{x\to a} f(x)=L.
Intuição rápida (sem formalidade pesada): se uma função fica “espremida” entre duas que têm o mesmo limite L, ela também tem esse limite L.
Vou usar esse teorema porque a função \operatorname{sen}(\cdot) é limitada (fica entre -1 e 1), e multiplicando essa função limitada por x^{2} (que tende a 0) podemos “espremer” a expressão entre duas funções cujo limite é 0.

Passo 3

Propriedade trigonométrica que usamos (fato básico de trigonometria):
para todo número real t vale
-1\le \operatorname{sen}(t)\le 1.
Aqui o argumento do seno é t=\dfrac{\pi x}{x^{4}+3}, mas a desigualdade acima vale para qualquer t. Então, substituindo t pelo nosso argumento, obtemos
-1\le \operatorname{sen}\!\left(\frac{\pi x}{x^{4}+3}\right)\le 1.

Passo 4

Multiplicamos a desigualdade do Passo 3 por x^{2}. Atenção: x^{2}\ge 0 para todo x, então a direção das desigualdades não se inverte ao multiplicar. Assim temos, para todo x,
- x^{2} \le x^{2}\cdot \operatorname{sen}\!\left(\frac{\pi x}{x^{4}+3}\right) \le x^{2}.
Essa é exatamente a situação de “confronto”: a função cujo limite queremos está entre -x^{2} e x^{2}.

Passo 5

Calculamos os limites das funções que fazem as fronteiras:
\lim_{x\to 0} (-x^{2}) = 0
e
\lim_{x\to 0} x^{2} = 0.
Ambos são óbvios porque x^{2} tende a 0 quando x\to 0; o negativo também tende a 0.

Passo 6

Aplicando o Teorema do Confronto (Passo 2) às desigualdades obtidas no Passo 4 e aos limites do Passo 5, concluímos que
\lim_{x\rightarrow 0}\left[x^{2}\cdot \operatorname{sen}\!\left(\frac{\pi x}{x^{4}+3}\right)\right]=0.

Passo 7

Comentário amigável para a prova: uma técnica padrão é procurar fatores que tendem a zero (aqui x^{2}) multiplicando uma função limitada (aqui \operatorname{sen}(\cdot)). Sempre que você tiver algo como x^{\alpha}\cdot \text{função limitada}çã com \alpha>0, o limite tende a 0. Um exemplo clássico parecido é \lim_{x\to 0} x\sin\!\left(\frac{1}{x}\right)=0.

Resposta

0

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