(1 ponto) Considere a função massa de probabilidade (f.m.p.) de uma variável aleatória (v.a.) dada conforme abaixo:
1 0,1
2 0,2
3 0,3
4 0,4
(a) Obtenha a função de distribuição acumulada (f.d.a.) de .
(b) Calcule e .
(c) Calcule .

Passo 1

O enunciado nos dá uma variável aleatória discreta X com possíveis valores e probabilidades
c|cccc x & 1 & 2 & 3 & 4hline P(X=x) & 0,1 & 0,2 & 0,3 & 0,4
e pede
(a) a função de distribuição acumulada FX(x)=P(X<= x),
(b) a esperança E(X) e a variância Var(X),
(c) El(X^2+1r).

Passo 2

Para obter FX(x)=P(X<= x) acumulamos as probabilidades em cada ponto. Logo,
FX(x)= 0, & x<1, 0,1, & 1<= x<2, 0,1+0,2=0,3, & 2<= x<3, 0,3+0,3=0,6, & 3<= x<4, 0,6+0,4=1, & x>=4

Passo 3

Para E(X) usamos
E(X)=sumx=1^4x,P(X=x) =1cdot0,1+2cdot0,2+3cdot0,3+4cdot0,4=0,1+0,4+0,9+1,6=3
Para Var(X) calculamos primeiro E(X^2):
E(X^2)=1^2cdot0,1+2^2cdot0,2+3^2cdot0,3+4^2cdot0,4 =0,1+0,8+2,7+6,4=10
Então
Var(X)=E(X^2)-l(E(X)r)^2=10-3^2=10-9=1

Passo 4

Para El(X^2+1r) usamos a linearidade da esperança:
El(X^2+1r)=E(X^2)+E(1) =10+1=11

Resposta

(a)
FX(x)= 0, & x<1, 0,1, & 1<= x<2, 0,3, & 2<= x<3, 0,6, & 3<= x<4, 1, & x>=4
(b) E(X)=3, Var(X)=1.
(c) El(X^2+1r)=11.

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