(1 ponto) Seja X uma v.a. discreta que possui f.m.p. dada por P(X=k)=1 / 3 para todo k in1, ldots, 3.
(a) Obtenha a f.d.a. de X.
(b) Determine E(X) e Var(X).

Passo 1

O enunciado nos diz que X é uma variável aleatória discreta que assume os valores 1,2,3 com igual probabilidade 1/3. Precisamos encontrar (a) a função de distribuição acumulada (f.d.a.) de X e (b) os valores de E(X) e Var(X).

Passo 2

Para obter a f.d.a. FX(x)=P(X<= x) em função de xinR, notamos que:
P(X<= x)= 0, & x<1, 1/3, & 1 <= x < 2, 2/3, & 2 <= x < 3, 1, & x>= 3

Passo 3

Para calcular E(X) usamos a definição
E(X)=sumk=1^3k;P(X=k) =sumk=1^3kcdot13 =1+2+33=2

Passo 4

Para a variância precisamos de E(X^2) e então usar Var(X)=E(X^2)-l[E(X)r]^2. Primeiro,
E(X^2)=sumk=1^3k^2;P(X=k) =1^2+2^2+3^23 =1+4+93 =143
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Var(X) =E(X^2)-l[E(X)r]^2 =143-2^2 =143-4 =23

Resposta

(a)
FX(x)= 0, & x<1, 1/3, & 1 <= x < 2, 2/3, & 2 <= x < 3, 1, & x>= 3
(b) E(X)=2 e Var(X)=tfrac23

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