(2 pontos) Sejam v_{1}=\left[\begin{array}{r}1 \\\\ -3 \\\\ 2\end{array}\right], v_{2}=\left[\begin{array}{r}2 \\\\ 4 \\\\ -1\end{array}\right], v_{3}=\left[\begin{array}{r}0 \\\\ -10 \\\\ 5\end{array}\right] vetores em \mathbb{R}^{3}.
(a) O conjunto de vetores \left\{v_{1}, v_{2}, v_{3}\right\} é LI ou LD? Justifique sua resposta.
(b) Determine uma base para £\left(v_{1}, v_{2}, v_{3}\right) o subespaço gerado pelos vetores v_{1}, v_{2} e v_{3}.
(c) O vetor v=(2,4,-1) pertence ao subespaço £\left(v_{1}, v_{2}, v_{3}\right) ? Justifique sua resposta.

Passo 1

O enunciado dá três vetores em \mathbb{R}^3:
v_{1}=\begin{pmatrix}1\\\ -3\\\ 2\end{pmatrix}, \quad v_{2}=\begin{pmatrix}2\\\ 4\\\ -1\end{pmatrix}, \quad v_{3}=\begin{pmatrix}0\\\ -10\\\ 5\end{pmatrix}
e pede: (a) verificar se \{v_1,v_2,v_3\} é linearmente independente (LI) ou dependente (LD); (b) achar uma base de \mathrm{span}(v_1,v_2,v_3); (c) checar se v=(2,4,-1) pertence a esse subespaço. Vamos usar definição de dependência linear, combinação linear e resolução de sistemas lineares.

Passo 2

Para testar dependência, buscamos escalares \alpha,\beta\) não todos nulos tais que \[\alpha\,v_{1} + \beta\,v_{2} = v_{3}.
Isso gera o sistema
\begin{cases} \alpha + 2\beta = 0,\\\\ -3\alpha + 4\beta = -10,\\\\ 2\alpha - \beta = 5. \end{cases}
Da primeira equação \alpha = -2\beta\]. Substituindo na segunda: \[-3(-2\beta)+4\beta = 6\beta+4\beta =10\beta = -10 \quad\Longrightarrow\quad \beta = -1,\] logo \(\alpha = 2. Verificando na terceira:
2\cdot 2 - (-1) = 4+1 =5,
confere. Como existe solução não trivial (\alpha,\beta)\neq(0,0), concluímos que v_{3} = 2\,v_{1} - v_{2} e, portanto, o conjunto é linearmente dependente.

Passo 3

Como v_{3} é combinação de v_{1} e v_{2}, ele é redundante no gerador. Verificamos que \{v_{1},v_{2}\} é LI, pois a única solução de
\lambda\,v_{1} + \mu\,v_{2} = 0
é \lambda=\mu=0. Assim, uma base de \mathrm{span}(v_{1},v_{2},v_{3}) é
\bigl\{\,v_{1},\,v_{2}\bigr\}.

Passo 4

Para ver se v=(2,4,-1)\) pertence ao subespaço, basta verificar se há \(\gamma,\delta\) tais que \[\gamma\,v_{1} + \delta\,v_{2} = v.
Escrevendo coordenadas, temos
\begin{cases} \gamma + 2\delta = 2,\\\\ -3\gamma + 4\delta = 4,\\\\ 2\gamma - \delta = -1. \end{cases}
Da primeira \gamma=2-2\delta\]. Substituindo na segunda: \[-3(2-2\delta)+4\delta = -6+6\delta+4\delta = -6+10\delta = 4 \quad\Longrightarrow\quad 10\delta = 10 \quad\Longrightarrow\quad \delta = 1,\] \(\gamma = 2-2=0. Verificando na terceira:
2\cdot 0 - 1 = -1,
confere. Logo v = 0\cdot v_{1} + 1\cdot v_{2} = v_{2}, isto é, v está no span.

Resposta

(a) \{v_{1},v_{2},v_{3}\} é linearmente dependente.
(b) Uma base de \mathrm{span}(v_{1},v_{2},v_{3}) é \{v_{1},v_{2}\}.
(c) Sim, v=(2,4,-1) pertence ao subespaço, pois v=v_{2}.

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