(1 ponto) Considere f(x mid theta)=1sigma raiz2 pi exp (-12(xsigma)^2),-infty, a sua fdp é dada por:
sigma
Mostre que theta é um parâmetro de escala.
Obs.: O g é um parâmetro de escala se theta, ou seja, a densidade de não depende de .

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para mostrar que σ é um parâmetro de escala na distribuição normal. Estamos trabalhando com a função de densidade de probabilidade (fdp) da normal, e para resolver isso, vamos precisar entender como os parâmetros de escala funcionam e manipular a fdp para verificar se ela se encaixa na definição de parâmetro de escala.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar a função de densidade da distribuição normal que foi dada:
f(x mid sigma) = 1sigma raiz2 pi exp (-12(xsigma)^2)
Aqui, σ é o desvio padrão, que é o parâmetro que queremos analisar.

Passo 3

Agora, vamos lembrar a definição de um parâmetro de escala. Dizemos que θ é um parâmetro de escala se a fdp pode ser escrita da forma:
f(x mid theta) = 1theta g(xtheta)
onde g é uma função que não depende de θ. Nosso objetivo é colocar a fdp da normal nessa forma.

Passo 4

Vamos tentar reorganizar a fdp da normal para se parecer com a definição acima. Observe que:
f(x mid sigma) = 1sigma raiz2 pi exp (-12(xsigma)^2)
Podemos escrever isso como:
f(x mid sigma) = 1sigma ( 1raiz2 pi exp (-12(xsigma)^2) )

Passo 5

Comparando com a definição de parâmetro de escala, vemos que:
g(xsigma) = 1raiz2 pi exp (-12(xsigma)^2)
Aqui, g depende apenas de $ \frac{x}{\sigma} $ e não de σ diretamente, ou seja, g não depende de σ.

Passo 6

Como conseguimos escrever a fdp da normal na forma $ \frac{1}{\sigma} g\left(\frac{x}{\sigma}\right) $ onde g não depende de σ, isso confirma que σ é realmente um parâmetro de escala.

Resposta

Portanto, mostramos que σ é um parâmetro de escala na distribuição normal.

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