(1 ponto) Considere
, a sua fdp é dada por:
Mostre que
é um parâmetro de escala.
Obs.: O
é um parâmetro de escala se
, ou seja, a densidade de
não depende de
.
Obs.: O
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para mostrar que σ é um parâmetro de escala na distribuição normal. Estamos trabalhando com a função de densidade de probabilidade (fdp) da normal, e para resolver isso, vamos precisar entender como os parâmetros de escala funcionam e manipular a fdp para verificar se ela se encaixa na definição de parâmetro de escala.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar a função de densidade da distribuição normal que foi dada:
Aqui, σ é o desvio padrão, que é o parâmetro que queremos analisar.
Passo 3
Agora, vamos lembrar a definição de um parâmetro de escala. Dizemos que θ é um parâmetro de escala se a fdp pode ser escrita da forma:
onde g é uma função que não depende de θ. Nosso objetivo é colocar a fdp da normal nessa forma.
Passo 4
Vamos tentar reorganizar a fdp da normal para se parecer com a definição acima. Observe que:
Podemos escrever isso como:
Passo 5
Comparando com a definição de parâmetro de escala, vemos que:
Aqui, g depende apenas de $ \frac{x}{\sigma} $ e não de σ diretamente, ou seja, g não depende de σ.
Passo 6
Como conseguimos escrever a fdp da normal na forma $ \frac{1}{\sigma} g\left(\frac{x}{\sigma}\right) $ onde g não depende de σ, isso confirma que σ é realmente um parâmetro de escala.
Resposta
Portanto, mostramos que σ é um parâmetro de escala na distribuição normal.