(2 pontos) Seja
uma a.a. de
.
Determine uma quantidade pivotal para encontrar um intervalo de
confiança para média da população utilizando os dados abaixo:
0.320
4.115
3.982
2.620
1.376
0.978
2.549
2.837
0.283
5.417
Determine uma quantidade pivotal para encontrar um intervalo de
0.320 | 4.115 | 3.982 | 2.620 | 1.376 |
0.978 | 2.549 | 2.837 | 0.283 | 5.417 |
Passo 1
Beleza, vamos começar resumindo o que a questão está pedindo. Temos uma sequência de variáveis aleatórias $ X_1, ···, X_n $ que seguem uma distribuição exponencial com parâmetro $ \theta $. O objetivo é encontrar uma quantidade pivotal que nos ajude a construir um intervalo de confiança de 90% para a média da população.
Conteúdo da matéria: Distribuição Exponencial, Quantidade Pivotal, Intervalo de Confiança.
O que vamos precisar: Entender o que é uma quantidade pivotal, propriedades da distribuição exponencial e como relacionar isso para construir o intervalo de confiança.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a média da distribuição exponencial é dada por $ \mu = \frac{1}{\theta} $. Nosso objetivo é construir um intervalo de confiança para $ \mu $, mas para isso, precisamos trabalhar com uma quantidade que não dependa de $ \theta $, ou seja, uma quantidade pivotal.
Passo 3
Sabemos que a soma de $ n $ variáveis exponenciais independentes com parâmetro $ \theta $ segue uma distribuição Gamma com parâmetros $ (n, \theta)
\chi^2 $).
Especificamente, a soma $ S = \sum_{i=1}^{n} X_i $ segue uma distribuição Gamma, que pode ser expressa como:
Aqui, $ \chi^2_{2n} $ representa a distribuição qui-quadrado com $ 2n $ graus de liberdade.
Passo 4
A expressão $ 2\theta S $ envolve apenas dados ($ S $) e o parâmetro $ \theta $, mas sua distribuição é uma qui-quadrado que não depende de $ \theta $. Isso significa que $ 2\theta S $ é uma quantidade pivotal, pois sua distribuição é conhecida e não depende do parâmetro desconhecido $ \theta $.
Resposta
Uma quantidade pivotal para construir um intervalo de 90% de confiança para a média da população é:
Essa quantidade segue uma distribuição qui-quadrado com $ 2n $ graus de liberdade.