(2 pontos) Seja X sim f(x mid theta)=theta e^-theta x, x>0, theta>0 uma a.a. de 90 %.
Determine uma quantidade pivotal para encontrar um intervalo de lllll hline 0.320 & 4.115 & 3.982 & 2.620 & 1.376 hline 0.978 & 2.549 & 2.837 & 0.283 & 5.417 hline confiança para média da população utilizando os dados abaixo:
0.320 4.115 3.982 2.620 1.376
0.978 2.549 2.837 0.283 5.417

Passo 1

Beleza, vamos começar resumindo o que a questão está pedindo. Temos uma sequência de variáveis aleatórias $ X_1, ···, X_n $ que seguem uma distribuição exponencial com parâmetro $ \theta $. O objetivo é encontrar uma quantidade pivotal que nos ajude a construir um intervalo de confiança de 90% para a média da população.
Conteúdo da matéria: Distribuição Exponencial, Quantidade Pivotal, Intervalo de Confiança.
O que vamos precisar: Entender o que é uma quantidade pivotal, propriedades da distribuição exponencial e como relacionar isso para construir o intervalo de confiança.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a média da distribuição exponencial é dada por $ \mu = \frac{1}{\theta} $. Nosso objetivo é construir um intervalo de confiança para $ \mu $, mas para isso, precisamos trabalhar com uma quantidade que não dependa de $ \theta $, ou seja, uma quantidade pivotal.

Passo 3

Sabemos que a soma de $ n $ variáveis exponenciais independentes com parâmetro $ \theta $ segue uma distribuição Gamma com parâmetros $ (n, \theta) n ééàçã \chi^2 $).
Especificamente, a soma $ S = \sum_{i=1}^{n} X_i $ segue uma distribuição Gamma, que pode ser expressa como:
theta
Aqui, $ \chi^2_{2n} $ representa a distribuição qui-quadrado com $ 2n $ graus de liberdade.

Passo 4

A expressão $ 2\theta S $ envolve apenas dados ($ S $) e o parâmetro $ \theta $, mas sua distribuição é uma qui-quadrado que não depende de $ \theta $. Isso significa que $ 2\theta S $ é uma quantidade pivotal, pois sua distribuição é conhecida e não depende do parâmetro desconhecido $ \theta $.

Resposta

Uma quantidade pivotal para construir um intervalo de 90% de confiança para a média da população é:
Q = 2theta sumi=1^n Xi
Essa quantidade segue uma distribuição qui-quadrado com $ 2n $ graus de liberdade.

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