(2 pontos) Para decidir se uma moeda é balanceada (honesta) ela é lançada 40 vezes e cara aparece 15 vezes. Supondo (
) uma a.a. da variável aleatória
. Sabe-se que o estimador de MV de
é
.
a) Utilizando aproximação para grandes amostras encontre uma quantidade pivotal para determinar um intervalo de
de confiança para a verdadeira proporção de caras
. O que você concluiu?
b) Repita o item (a) e estime a proporção
(coroa), através de um intervalo com
de confiança.
a) Utilizando aproximação para grandes amostras encontre uma quantidade pivotal para determinar um intervalo de
b) Repita o item (a) e estime a proporção
Passo 1
Vamos lá! O enunciado nos diz que lançamos uma moeda 40 vezes e saiu cara 15 vezes. Estamos lidando com variáveis aleatórias de Bernoulli, onde cada lançamento tem duas possibilidades: cara ou coroa. Nosso objetivo é estimar a proporção verdadeira de caras $ p $ usando métodos de confiança. Para isso, vamos precisar entender o conceito de intervalo de confiança e utilizar aproximações para grandes amostras.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular o estimador de máxima verossimilhança (MV) para $ p $, que é simplesmente a média dos resultados. Aqui, como tivemos 15 caras em 40 lançamentos:
Passo 3
Agora, para construir um intervalo de confiança para $ p $, usamos a aproximação normal, que é válida para grandes amostras. A fórmula geral para o intervalo de confiança é:
Onde:
- $ \widehat{p} $ é a proporção estimada
- $ z $ é o valor crítico da distribuição normal para o nível de confiança desejado
- $ n $ é o tamanho da amostra
Passo 4
No item (a), queremos um intervalo de 95% de confiança. O valor crítico $ z $ para 95% é aproximadamente 1,96. Substituindo os valores:
Passo 5
Calculando o erro padrão:
Passo 6
Multiplicando pelo valor crítico:
Passo 7
Construindo o intervalo de confiança:
Passo 8
Então, o intervalo de confiança de 95% para a proporção verdadeira de caras $ p $ é de 22,5% a 52,5%. Como este intervalo inclui 50%, não podemos concluir com 95% de confiança que a moeda seja injusta; ou seja, a moeda pode ser considerada balanceada.
Passo 9
No item (b), queremos estimar a proporção de coroas $ g§ = 1 - p $ com um intervalo de confiança de 98%. Primeiramente, calculamos $ g(\widehat{p}) = 1 - 0,375 = 0,625 $.
Passo 10
O valor crítico $ z $ para 98% de confiança é aproximadamente 2,326. Usamos a mesma fórmula adaptada para $ g§ $:
Passo 11
Usando o erro padrão já calculado anteriormente (0,0765):
Passo 12
Construindo o intervalo de confiança:
Resposta
a) O intervalo de confiança de 95% para a proporção de caras $ p $ é de 22,5% a 52,5%. Como inclui 50%, concluímos que a moeda pode ser considerada balanceada.
b) O intervalo de confiança de 98% para a proporção de coroas $ g§ = 1 - p $ é de 44,7% a 80,3%.