(2 pontos) Para decidir se uma moeda é balanceada (honesta) ela é lançada 40 vezes e cara aparece 15 vezes. Supondo ( X1, ldots, X40 ) uma a.a. da variável aleatória X sim Bernoulli(p). Sabe-se que o estimador de MV de p é widehatp=barX.
a) Utilizando aproximação para grandes amostras encontre uma quantidade pivotal para determinar um intervalo de 95 % de confiança para a verdadeira proporção de caras p. O que você concluiu?
b) Repita o item (a) e estime a proporção g(p)=1-p (coroa), através de um intervalo com 98 % de confiança.

Passo 1

Vamos lá! O enunciado nos diz que lançamos uma moeda 40 vezes e saiu cara 15 vezes. Estamos lidando com variáveis aleatórias de Bernoulli, onde cada lançamento tem duas possibilidades: cara ou coroa. Nosso objetivo é estimar a proporção verdadeira de caras $ p $ usando métodos de confiança. Para isso, vamos precisar entender o conceito de intervalo de confiança e utilizar aproximações para grandes amostras.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o estimador de máxima verossimilhança (MV) para $ p $, que é simplesmente a média dos resultados. Aqui, como tivemos 15 caras em 40 lançamentos:
p

Passo 3

Agora, para construir um intervalo de confiança para $ p $, usamos a aproximação normal, que é válida para grandes amostras. A fórmula geral para o intervalo de confiança é:
p
Onde:
  • $ \widehat{p} $ é a proporção estimada
  • $ z $ é o valor crítico da distribuição normal para o nível de confiança desejado
  • $ n $ é o tamanho da amostra

Passo 4

No item (a), queremos um intervalo de 95% de confiança. O valor crítico $ z $ para 95% é aproximadamente 1,96. Substituindo os valores:
z

Passo 5

Calculando o erro padrão:
raiz0,375 cdot 0,62540 = raiz0,23437540 approx raiz0,005859375 approx 0,0765

Passo 6

Multiplicando pelo valor crítico:
1,96 cdot 0,0765 approx 0,150

Passo 7

Construindo o intervalo de confiança:
0,375 - 0,150 = 0,225 0,375 + 0,150 = 0,525

Passo 8

Então, o intervalo de confiança de 95% para a proporção verdadeira de caras $ p $ é de 22,5% a 52,5%. Como este intervalo inclui 50%, não podemos concluir com 95% de confiança que a moeda seja injusta; ou seja, a moeda pode ser considerada balanceada.

Passo 9

No item (b), queremos estimar a proporção de coroas $ g§ = 1 - p $ com um intervalo de confiança de 98%. Primeiramente, calculamos $ g(\widehat{p}) = 1 - 0,375 = 0,625 $.

Passo 10

O valor crítico $ z $ para 98% de confiança é aproximadamente 2,326. Usamos a mesma fórmula adaptada para $ g§ $:
z

Passo 11

Usando o erro padrão já calculado anteriormente (0,0765):
2,326 cdot 0,0765 approx 0,178

Passo 12

Construindo o intervalo de confiança:
0,625 - 0,178 = 0,447 0,625 + 0,178 = 0,803

Resposta

a) O intervalo de confiança de 95% para a proporção de caras $ p $ é de 22,5% a 52,5%. Como inclui 50%, concluímos que a moeda pode ser considerada balanceada.
b) O intervalo de confiança de 98% para a proporção de coroas $ g§ = 1 - p $ é de 44,7% a 80,3%.

Exercícios relacionados