(1,5 ponto) a) Considere o seguinte sistema de equações diferenciais ordinárias:
Mostre que a origem é um ponto de equilíbrio estável. (Dica: Ache uma função de Liapunov da forma V(x, y, z)=alpha x^2+beta y^2+gamma z^2). A origem é um ponto de equilíbrio assintoticamente estável? Justifique.
Passo 1
O enunciado dá o sistema
x' = 3xz + y, y' = -x + 3z^2, z' = -x^2 - zy
e pede para mostrar que a origem (0,0,0) é ponto de equilíbrio estável usando uma função de Liapunov da forma
V(x,y,z)=alpha x^2+beta y^2+gamma z^2
Veremos que V será positiva definida e sua derivada ao longo de soluções será semissinal, garantindo estabilidade mas não assintótica.
Passo 2
Proponha
V(x,y,z)=alpha x^2+beta y^2+gamma z^2,
com constantes alpha,beta,gamma>0. Note que V(0,0,0)=0 e V>0 se (x,y,z)neq(0,0,0), ou seja, V é positiva definida.
Passo 3
Calcule a derivada de V ao longo das soluções do sistema:
dot V =2alpha x,x'+2beta y,y'+2gamma z,z'
Substituindo x',y',z':
dot V =2alpha x(3xz+y)+2beta y(-x+3z^2)+2gamma z(-x^2-zy)
Agrupando termos obtém-se
dot V =2(alpha-beta),xy +2(3alpha-gamma),x^2z +2(3beta-gamma),yz^2
Passo 4
Para anular todos os termos de dot V e torná-la semissinal (no caso identicamente zero), impomos
alpha-beta=0, 3alpha-gamma=0, 3beta-gamma=0
Da primeira vem alpha=beta, e então gamma=3alpha=3beta. Assim, por exemplo, escolhemos
Como V é positiva definida em torno da origem e dot Vequiv0, pelo Teorema de Liapunov a origem é estável.
Para ser assintoticamente estável precisaríamos de dot V<0 (negativa definida) ou usar LaSalle identificando que o único conjunto invariante em dot V=0 é a origem. Aqui dot V=0 em todo o domínio, de modo que LaSalle não garante atração para o ponto.
Além disso, a parte linear do sistema em (x,y) é um centro (x' = y,;y'=-x) e z fica constante linearmente, logo não há decaimento das soluções. Portanto a origem não é assintoticamente estável.
Resposta
A função
V(x,y,z)=x^2+y^2+3z^2
é de Liapunov: ela é positiva definida e dot Vequiv0, o que implica estabilidade da origem. Como dot V não é negativa definida, a origem não é assintoticamente estável.