Determine as equações das retas tangente e normal ao gráfico de f no ponto de abscissa x0 :
f(x)=x^3+xx^2+1, x0=-1

Passo 1

O enunciado pede a reta tangente e a reta normal ao gráfico de
f(x)=x^3+xx^2+1
no ponto de abscissa x0=-1. Para isso, precisamos calcular a derivada f'(x), avaliar f'(-1) (declive da tangente), calcular f(-1) (ordenada do ponto) e então usar as fórmulas das retas.

Passo 2

Usando a regra do quociente,
f'(x) =(3x^2+1)(x^2+1)-(x^3+x),2x(x^2+1)^2
No numerador temos
(3x^2+1)(x^2+1)=3x^4+4x^2+1, 2x(x^3+x)=2x^4+2x^2,
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(3x^4+4x^2+1)-(2x^4+2x^2) =x^4+2x^2+1=(x^2+1)^2
Portanto
f'(x) =(x^2+1)^2(x^2+1)^2 =1

Passo 3

O declive da tangente em x0=-1 é
f'(-1)=1

Passo 4

A ordenada do ponto é
f(-1) =(-1)^3+(-1)(-1)^2+1 =-1-11+1 =-22 =-1
Logo o ponto de tangência é (-1,-1).

Passo 5

A equação da reta tangente, com declive m=1, é
y - (-1)=1l(x-(-1)r) Longrightarrow y+1=x+1 Longrightarrow y=x

Passo 6

A reta normal tem declive -1/m=-1. Usando o mesmo ponto (-1,-1):
y - (-1)=-1l(x-(-1)r) Longrightarrow y+1=-,x-1 Longrightarrow y=-x-2

Resposta

A reta tangente é y=x.
A reta normal é y=-x-2.

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