Q 89 Considere a curva dada por f(x)=-raiz4 x-4. Caso exista, escreva a equação da reta tangente a curva, tal que seja paralela a reta r: x+y=10.

Passo 1

O enunciado pede a reta tangente à curva
f(x) = -raiz4x - 4
de modo que ela seja paralela à reta rcolon x + y = 10.
Conteúdo: derivada de função composta e condição de paralelismo (igualdade de coeficientes angulares).

Passo 2

Para que duas retas sejam paralelas, seus coeficientes angulares devem coincidir. Da reta rcolon x + y = 10 temos
y = -x + 10,
logo o coeficiente angular é mr = -1.

Passo 3

Calculamos a derivada de f. Note que f(x) = -l(4x-4r)^1/2. Pela regra da cadeia,
f'(x) = -12l(4x-4r)^-1/2cdot 4 = -2,(4x-4)^-1/2 = -2raiz4x-4

Passo 4

Impondo f'(x0)=mr=-1, temos
-2raiz4x0-4 = -1 Longrightarrow 2raiz4x0-4 = 1 Longrightarrow raiz4x0-4=2 Longrightarrow 4x0-4=4 Longrightarrow x0=2

Passo 5

O ponto de tangência é l(x0,f(x0)r). Como
f(2) = -raiz4cdot2 - 4 = -raiz4 = -2,
o ponto é (2,-2).

Passo 6

A reta tangente em (2,-2) com coeficiente angular -1 satisfaz
y - (-2) = -1,(x - 2) Longrightarrow y + 2 = -x + 2 Longrightarrow y = -x

Resposta

A equação da reta tangente é
y = -x l(ou x + y = 0r)

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