( ponto) Considere três átomos em um espaço tridimensional com as seguintes coordenadas cartesianas (em Ångströms):
Átomo A:
Átomo B:
Átomo C:
(a) Determine os vetores e B C.
(b) Calcule o produto escalar (produto interno) entre os vetores A B e B C.
(c) Com base no resultado do produto escalar, os vetores A B e B C são perpendiculares? Justifique sua resposta.
(d) Encontre um vetor v que seja perpendicular ao vetor A B. Apresente uma solução não trivial para v. O que este novo vetor representa em relação aos átomos?
Passo 1
O enunciado dá três átomos em R^3 com coordenadas A=(1,2,3), B=(4,-1,0) e C=(2,5,-3). Pede-se (a) os vetores AB e BC, (b) o produto escalar desses vetores, (c) determinar se eles são perpendiculares e (d) encontrar um vetor não trivial perpendicular a AB, além de interpretar esse vetor.
Passo 2
Para obter AB subtraímos as coordenadas de A das de B, e para BC fazemos o mesmo entre C e B:
Do resultado -15neq0 concluímos que AB e BCnão são perpendiculares, pois vetores são perpendiculares se e só se o produto escalar for zero.
Passo 5
Procuramos vec v=(v1,v2,v3) tal que
ABcdotvec v =3v1-3v2-3v3=0
Escolhendo, por exemplo, v1=1, v2=0 temos
3cdot1-3cdot0-3v3=0Longrightarrow v3=1,
de modo que uma solução não trivial é vec v=(1,0,1). Esse vetor é perpendicular à direção AB, representando uma direção ortogonal à ligação entre os átomos A e B.
Resposta
(a) AB=(3,-3,-3), BC=(-2,6,-3).
(b) ABcdotBC=-15.
(c) Não são perpendiculares, pois o produto escalar é -15neq0.
(d) Um exemplo é vec v=(1,0,1), que satisfaz ABcdotvec v=0. Esse vetor aponta numa direção ortogonal ao segmento que une A e B.