( 1 , 0 0 ponto) Considere três átomos em um espaço tridimensional com as seguintes coordenadas cartesianas (em Ångströms):
  • Átomo A: A=(1,2,3)
  • Átomo B: B=(4,-1,0)
  • Átomo C: C=(2,5,-3)
    (a) Determine os vetores A B e B C.
    (b) Calcule o produto escalar (produto interno) entre os vetores A B e B C.
    (c) Com base no resultado do produto escalar, os vetores A B e B C são perpendiculares? Justifique sua resposta.
    (d) Encontre um vetor v que seja perpendicular ao vetor A B. Apresente uma solução não trivial para v. O que este novo vetor representa em relação aos átomos?

Passo 1

O enunciado dá três átomos em R^3 com coordenadas A=(1,2,3), B=(4,-1,0) e C=(2,5,-3). Pede-se (a) os vetores AB e BC, (b) o produto escalar desses vetores, (c) determinar se eles são perpendiculares e (d) encontrar um vetor não trivial perpendicular a AB, além de interpretar esse vetor.

Passo 2

Para obter AB subtraímos as coordenadas de A das de B, e para BC fazemos o mesmo entre C e B:
AB=B-A=(4-1,,-1-2,,0-3)=(3,,-3,,-3),
BC=C-B=(2-4,,5-(-1),,-3-0)=(-2,,6,,-3)

Passo 3

O produto escalar é dado por
ABcdotBC =3cdot(-2)+(-3)cdot6+(-3)cdot(-3) =-6-18+9=-15

Passo 4

Do resultado -15neq0 concluímos que AB e BC não são perpendiculares, pois vetores são perpendiculares se e só se o produto escalar for zero.

Passo 5

Procuramos vec v=(v1,v2,v3) tal que
ABcdotvec v =3v1-3v2-3v3=0
Escolhendo, por exemplo, v1=1, v2=0 temos
3cdot1-3cdot0-3v3=0Longrightarrow v3=1,
de modo que uma solução não trivial é vec v=(1,0,1). Esse vetor é perpendicular à direção AB, representando uma direção ortogonal à ligação entre os átomos A e B.

Resposta

(a) AB=(3,-3,-3), BC=(-2,6,-3).
(b) ABcdotBC=-15.
(c) Não são perpendiculares, pois o produto escalar é -15neq0.
(d) Um exemplo é vec v=(1,0,1), que satisfaz ABcdotvec v=0. Esse vetor aponta numa direção ortogonal ao segmento que une A e B.

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