Resolver as equações
ln (y^2-1)-ln (x+1)=ln (sen(x))

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação
lnl(y^2-1r);-;lnl(x+1r);=;lnl(sen(x)r)
O conteúdo aqui envolve propriedades de logaritmo (diferença vira quociente) e resolver para y em função de x, lembrando sempre de analisar o domínio de cada logaritmando.

Passo 2

Impondo as condições de existência dos logaritmos, temos:
y^2-1>0Longrightarrow y>1 ou y<-1,
x+1>0Longrightarrow x>-1,
sen(x)>0Longrightarrow xincupkinZl(2kpi,,(2k+1)pir)
Como também precisamos de x>-1, o domínio de x fica
x>-1esen(x)>0

Passo 3

Usando a propriedade
ln(A)-ln(B)=ln!l(ABr),
podemos reescrever a equação como
ln!l(y^2-1,x+1,r);=;lnl(sen(x)r)
Como ln(u)=ln(v) implica u=v (em domínios válidos), obtemos
y^2-1,x+1,=sen(x)

Passo 4

Multiplicando ambos os lados por x+1, chega-se a
y^2-1=(x+1),sen(x) Longrightarrow y^2=1+(x+1),sen(x)
Logo
y=pmraiz,1+(x+1),sen(x),

Passo 5

Ainda no domínio x > -1 e sen(x) > 0, temos (x+1)sen(x) > 0, então
1 + (x+1)sen(x) > 1,
o que garante raiz1 + (x+1)sen(x) > 1. Portanto
;y = +raizdots \emph{cai em} y > 1
e
;y = -raizdots \emph{cai em} y < -1,
ambos consistentes com y^2 - 1 > 0.

Resposta

y=pmraiz,1+(x+1),sen(x),, x>-1, sen(x)>0

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