Se x <= 1, seja A(x)=integral-1^x(1+t^2) d t representa a área de uma região. Esboce essa região.

Passo 1

O enunciado define A(x)= integral-1^x(1+t^2),dt para x<=1 e pede que a gente esboce a região cuja área é dada por essa integral.

Passo 2

A teoria por trás é que uma integral definida integrala^b f(t),dt representa a área da região limitada pela curva y=f(t), pelo eixo t (isto é, y=0) e pelas retas verticais t=a e t=b, quando f(t)>=0.
No nosso caso, f(t)=1+t^2, que é sempre positiva. Portanto a região está abaixo da parábola y=1+t^2, acima do eixo y=0, e entre as retas t=-1 e t=x.

Passo 3

Para esboçar, começamos desenhando o sistema de eixos (t,y), depois plottamos a parábola de vértice em (0,1) que abre para cima. Em seguida traçamos as retas verticais t=-1 e t=x (com x<=1), e sinalizamos o eixo y=0.

Passo 4

Por fim, sombreie a região compreendida entre essas quatro fronteiras: a parábola y=1+t^2 em cima, o eixo y=0 embaixo, e as retas t=-1 e t=x nas laterais.

Resposta

A região é dada por
R(x)=(t,y)mid -1<= t<= x, 0<= y<= 1+t^2,
isto é, o domínio entre as retas verticais t=-1 e t=x, limitado acima pela parábola y=1+t^2 e abaixo pelo eixo y=0.

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