( 1,5 ponto) Considere x como a variável independente e y como a variável dependente e use a derivação implicita para encontrar a inclinação m da reta tangente no ponto (1,6) determinado pela curva x^4 y^2-5 x^4 y=6. Determine o valor de: |m+7|.

Passo 1

A questão pede a inclinação m=dydx da reta tangente à curva x^4y^2-5x^4y=6 no ponto (1,6). Vamos usar derivação implícita, pois y depende de x.

Passo 2

Derivando ambos os lados em relação a x, aplicando regra do produto e lembrando que ddx(y)=y':
ddxl(x^4y^2r)-5ddxl(x^4yr)=ddx(6)=0
Para x^4y^2:
ddx(x^4y^2)=4x^3y^2+x^4cdot2y,y'
Para x^4y:
ddx(x^4y)=4x^3y+x^4y'
Logo:
4x^3y^2+2x^4y,y'-5l(4x^3y+x^4y'r)=0

Passo 3

Agora agrupamos termos com y' de um lado e os demais do outro:
4x^3y^2+2x^4y,y'-20x^3y-5x^4y'=0
(2x^4y-5x^4)y' + (4x^3y^2-20x^3y)=0
Isolando y':
y'=-4x^3y^2-20x^3y2x^4y-5x^4

Passo 4

Substituindo x=1 e y=6:
Numerador:
4cdot1^3cdot6^2 -20cdot1^3cdot6=144-120=24
Denominador:
2cdot1^4cdot6 -5cdot1^4=12-5=7
Logo:
y'=m=-247

Passo 5

Por fim, calculamos |m+7|:
m+7=-247+7=-247+497=257
Portanto:
|m+7|=257

Resposta

25/7

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