( 2,0 pontos) Esboce a região que consiste nos pontos cujas coordenadas polares satisfazem
0<r \leq 2 \text { e } \frac{2 \pi}{3} \leq \theta<\frac{11 \pi}{6} .

Passo 1

O enunciado pede para esboçar, no plano cartesiano, a região cujas coordenadas polares (r,\theta) satisfazem
0 < r \le 2 \quad\text{e}\quad \frac{2\pi}{3} \le \theta < \frac{11\pi}{6}.
O conteúdo é interpretação geométrica em coordenadas polares: saber que r=2 é o círculo de raio 2 e que \theta= constante são semirretas (raios) a partir da origem.

Passo 2

Identificamos as fronteiras da região em coordenadas cartesianas:
1. O contorno exterior r=2 é o círculo
x^2 + y^2 = 4,
incluído (pois \le2).
2. As fronteiras angulares são as semirretas
\theta=\tfrac{2\pi}{3} e \theta=\tfrac{11\pi}{6} saindo da origem. Na prática, desenhe:
  • a semirreta a 120^\circ (linha no segundo quadrante);
  • a semirreta a 330^\circ (linha no quarto quadrante).
    A semirreta de \theta=\tfrac{2\pi}{3} está incluída ( \le), e a de \theta=\tfrac{11\pi}{6} está excluída ( <).

Passo 3

Agora construímos o esboço:
1. Desenhe o círculo de raio 2 centrado na origem.
2. Trace a semirreta de ângulo 120^\circ e marque-a sólida (incluída).
3. Trace a semirreta de ângulo 330^\circ e marque-a pontilhada (excluída).
4. Sombras ou colori a região interna ao círculo e “entre” essas duas semirretas, cobrindo o setor de amplitude
\tfrac{11\pi}{6} - \tfrac{2\pi}{3} = \tfrac{11\pi - 4\pi}{6} = \tfrac{7\pi}{6} \quad(\text{210\circ}),
excluindo apenas o ponto em r=0 (a origem) e a semirreta de \theta=\tfrac{11\pi}{6}.

Resposta

A região é o setor circular de raio máximo 2, centrado na origem, que começa na semirreta de ângulo 120^\circ (inclusa) e termina imediatamente antes da semirreta de ângulo 330^\circ (excluída), com todo interior sombreado.

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