Em que ponto a curva tem curvatura máxima? O que acontece com a curvatura quando ?
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para descobrir em que ponto a curva tem a curvatura máxima e o que acontece com essa curvatura quando tende para mais infinito. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo, especificamente derivadas e a fórmula da curvatura de uma função.
Passo 2
Primeiro, precisamos encontrar a fórmula para a curvatura () de uma função . A fórmula é:
Essa fórmula nos diz como a curvatura depende das primeiras e segundas derivadas da função.
Passo 3
Vamos calcular a primeira derivada de :
E a segunda derivada:
Passo 4
Agora, substituímos e na fórmula da curvatura:
Podemos simplificar essa expressão:
Passo 5
Para encontrar o ponto onde a curvatura é máxima, vamos derivar em relação a e igualar a zero:
Derivando:
Igualando a zero:
A única solução para essa equação é . Porém, como só está definido para , consideramos o limite quando se aproxima de 0 pela direita ().
Passo 6
Analisando o comportamento da curvatura:
Quando , , então .
Quando , , então .
Isso mostra que a curvatura diminui à medida que aumenta e atinge seu valor máximo próximo de .
Resposta
A curva tem a curvatura máxima quando se aproxima de 0 pela direita (). Além disso, quando tende para mais infinito (), a curvatura da curva tende a zero.