Em que ponto a curva y = ln(x) tem curvatura máxima? O que acontece com a curvatura quando x -> +infinito ?

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para descobrir em que ponto a curva tem a curvatura máxima e o que acontece com essa curvatura quando tende para mais infinito. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo, especificamente derivadas e a fórmula da curvatura de uma função.

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar a fórmula para a curvatura ( ) de uma função . A fórmula é:
Essa fórmula nos diz como a curvatura depende das primeiras e segundas derivadas da função.

Passo 3

Vamos calcular a primeira derivada de :
E a segunda derivada:

Passo 4

Agora, substituímos e na fórmula da curvatura:
Podemos simplificar essa expressão:

Passo 5

Para encontrar o ponto onde a curvatura é máxima, vamos derivar em relação a e igualar a zero:
Derivando:
Igualando a zero:
A única solução para essa equação é . Porém, como só está definido para , consideramos o limite quando se aproxima de 0 pela direita ( ).

Passo 6

Analisando o comportamento da curvatura:
  • Quando , , então .
  • Quando , , então .
Isso mostra que a curvatura diminui à medida que aumenta e atinge seu valor máximo próximo de .

Resposta

A curva tem a curvatura máxima quando se aproxima de 0 pela direita ( ). Além disso, quando tende para mais infinito ( ), a curvatura da curva tende a zero.

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