Diferenciabilidade e Planos Tangentes
Determine una expre ssad para o diferencial Total da funcaó f(x, y)=e^x+y+raizx y

Passo 1

Temos a função f(x,y)=e^x+y+raizxy. O conteúdo é diferencial total e vamos precisar calcular as derivadas parciais fx e fy.

Passo 2

Para achar fx, usamos a soma de derivadas: a derivada de e^x+y em relação a x é e^x+y e a de raizxy é obtida pela regra da cadeia. Primeiro escrevemos raizxy=(xy)^1/2 e derivamos:
partialpartial x(xy)^1/2=tfrac12(xy)^-1/2cdot y=y2raizxy
Logo,
fx=e^x+y+y2raizxy

Passo 3

Para achar fy, fazemos processo análogo: a derivada de e^x+y em relação a y é e^x+y e para raizxy=(xy)^1/2 temos
partialpartial y(xy)^1/2=tfrac12(xy)^-1/2cdot x=x2raizxy
Logo,
fy=e^x+y+x2raizxy

Passo 4

Agora, o diferencial total df é dado por
df=fx,dx+fy,dy
Substituindo fx e fy achados,
boxeddf=gl(e^x+y+y2raizxygr)dx+gl(e^x+y+x2raizxygr)dy

Resposta

df=\left(e{x+y}+\frac{y}{2\sqrt{xy}}\right)dx+\left(e{x+y}+\frac{x}{2\sqrt{xy}}\right)dy

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