(0,5 ponto) Dada a função f(x)=2-x^29-x^2, determine a equação da sua reta tangente no ponto ( -4,2 ).

Passo 1

O enunciado pede a reta tangente à função f(x)=2-x^29-x^2 no ponto (-4,2). O conteúdo principal é derivada de quociente e equação de reta tangente, e vamos precisar calcular f'(x) e depois usar a fórmula y - y0 = f'(x0)(x - x0).

Passo 2

Para encontrar f'(x), aplicamos a regra do quociente. Se u(x)=2-x^2 e v(x)=9-x^2, então u'(x)=-2x e v'(x)=-2x. Logo,
f'(x)=u'(x)v(x)-u(x)v'(x)[v(x)]^2=(-2x)(9-x^2)-(2-x^2)(-2x)(9-x^2)^2

Passo 3

Agora simplificamos o numerador:
(-2x)(9-x^2)-(2-x^2)(-2x)=-18x+2x^3+4x-2x^3=-14x

Passo 4

Então
f'(x)=-14x(9-x^2)^2

Passo 5

Avaliamos em x=-4:
f'(-4)=-14(-4)(9-(-4)^2)^2=56(9-16)^2=56(-7)^2=5649=87

Passo 6

Por fim, usamos a fórmula da reta tangente em (x0,y0)=(-4,2):
y - 2=87(x+4)

Resposta

y - 2 = \frac{8}{7}(x + 4)

Exercícios relacionados