(1,0 ponto) Dada a função f(x)=raizx, pede-se:
(a) A equação da reta tangente a esta curva no ponto de abscissa x=1.
(b) A equação da reta normal a esta curva no ponto de abscissa x=1.
© Represente no mesmo plano cartesiano o gráfico da função dada, da reta tangente e da reta normal.

Passo 1

Neste problema temos a função f(x)=√x e queremos achar, no ponto de abscissa x=1, a reta tangente, a reta normal e depois representar tudo num mesmo gráfico. Para encontrar a reta tangente, precisamos da derivada de f, pois a derivada num ponto dá o coeficiente angular da reta tangente. Como f(x)=√x podemos escrever f(x)=x^{1/2}. Assim,
f'(x)=12x^-1/2=12raizx
Avaliaremos essa derivada em x=1 para obter o coeficiente angular m_t da reta tangente:
mt=f'(1)=12raiz1=12

Passo 2

O ponto de tangência tem coordenadas (1,f(1))=(1,1). Usando a forma ponto-inclinação da reta,
y-1=12(x-1)
e isolando y obtemos a equação da reta tangente:
y=tfrac12x+tfrac12

Passo 3

Para achar a reta normal, lembramos que ela é perpendicular à tangent e, portanto, seu coeficiente angular m_n é o negativo do inverso de m_t:
mn=-1mt=-2
Usando o mesmo ponto (1,1) e a forma ponto-inclinação,
y-1=-2(x-1)
o que leva à equação da reta normal:
y=-2x+3

Passo 4

Por fim, para representar no mesmo plano, desenhe:
  • O gráfico de y=√x, que parte de (0,0) e cresce, tendo formato de raiz.
  • A reta tangente y=½x+½ que toca a curva em (1,1) com inclinação positiva suave.
  • A reta normal y=-2x+3 que cruza a tangente em (1,1) com inclinação negativa mais acentuada.

Resposta

Reta tangente: y=tfrac12x+tfrac12
Reta normal: y=-2x+3
Gráfico: curvas de y=√x, reta tangente e reta normal no mesmo plano, como descrito acima.

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