(1,0 ponto) Dada a função
, pede-se:
(a) A equação da reta tangente a esta curva no ponto de abscissa
.
(b) A equação da reta normal a esta curva no ponto de abscissa
.
© Represente no mesmo plano cartesiano o gráfico da função dada, da reta tangente e da reta normal.
(a) A equação da reta tangente a esta curva no ponto de abscissa
(b) A equação da reta normal a esta curva no ponto de abscissa
© Represente no mesmo plano cartesiano o gráfico da função dada, da reta tangente e da reta normal.
Passo 1
Neste problema temos a função f(x)=√x e queremos achar, no ponto de abscissa x=1, a reta tangente, a reta normal e depois representar tudo num mesmo gráfico. Para encontrar a reta tangente, precisamos da derivada de f, pois a derivada num ponto dá o coeficiente angular da reta tangente. Como f(x)=√x podemos escrever f(x)=x^{1/2}. Assim,
Avaliaremos essa derivada em x=1 para obter o coeficiente angular m_t da reta tangente:
Passo 2
O ponto de tangência tem coordenadas (1,f(1))=(1,1). Usando a forma ponto-inclinação da reta,
e isolando y obtemos a equação da reta tangente:
Passo 3
Para achar a reta normal, lembramos que ela é perpendicular à tangent e, portanto, seu coeficiente angular m_n é o negativo do inverso de m_t:
Usando o mesmo ponto (1,1) e a forma ponto-inclinação,
o que leva à equação da reta normal:
Passo 4
Por fim, para representar no mesmo plano, desenhe:
- O gráfico de y=√x, que parte de (0,0) e cresce, tendo formato de raiz.
- A reta tangente y=½x+½ que toca a curva em (1,1) com inclinação positiva suave.
- A reta normal y=-2x+3 que cruza a tangente em (1,1) com inclinação negativa mais acentuada.
Resposta
Reta tangente:
Reta normal:
Gráfico: curvas de y=√x, reta tangente e reta normal no mesmo plano, como descrito acima.
Reta normal:
Gráfico: curvas de y=√x, reta tangente e reta normal no mesmo plano, como descrito acima.