(1,0 ponto) Determinar a equação geral do plano que passa pelo ponto A(2,1,-2) e é perpendicular à reta
r:\left\{\begin{array}{l} x=-4+3 t \\\ y=1+2 t \\\ z=t \end{array}\right.

Passo 1

O enunciado pede a equação geral do plano que passa por A(2,1,-2)\) e é perpendicular à reta \[r:\begin{cases} x=-4+3t,\\\ y=1+2t,\\\ z=t. \end{cases}
Conteúdo: geometria analítica de planos e retas em (\mathbb{R}^3]. Para resolver, precisamos identificar o vetor diretor da reta e usar que, se um plano é perpendicular a uma reta, seu vetor normal é paralelo ao vetor diretor dessa reta.

Passo 2

O vetor diretor \mathbf{v} da reta vem dos coeficientes de t:
\mathbf{v} = (3,2,1).

Passo 3

Como o plano é perpendicular à reta, podemos escolher o vetor normal \mathbf{n} do plano igual a \mathbf{v}, ou seja,
\mathbf{n} = (3,2,1).

Passo 4

A equação vetorial do plano com normal \mathbf{n}=(3,2,1) que passa em A(2,1,-2) é
\mathbf{n}\cdot\bigl((x,y,z)-(2,1,-2)\bigr)=0,
ou em forma explícita:
3(x-2)+2(y-1)+1\bigl(z-(-2)\bigr)=0.
Simplificando:
3x-6+2y-2+z+2=0
3x+2y+z-6=0.

Resposta

A equação geral do plano é
3x+2y+z-6=0.

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