[10] Verifique usando a definição que \mathbb{R}^{n+1} \cong \mathcal{P}_{n}(\mathbb{R}) e que M(m, n) \cong \mathbb{R}^{m n}.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar duas isomorfias de espaços vetoriais sobre ℝ, ou seja, construir aplicações lineares bijetoras entre os pares
  1. \mathbb{R}^{n+1} e \mathcal{P}_{n}(\mathbb{R}), onde \mathcal{P}_{n}(\mathbb{R}) é o espaço dos polinômios de grau ≤ n, e
  2. M(m,n) e \mathbb{R}^{mn}, onde M(m,n) é o espaço das matrizes m\times n.
    Para isso vamos usar a definição: um isomorfismo é uma aplicação linear bijetora entre dois espaços vetoriais.

Passo 2

Definimos
\varphi:\mathbb{R}^{n+1}\to\mathcal{P}_{n}(\mathbb{R}), \qquad \varphi(a_{0},a_{1},\dots,a_{n}) = a_{0}+a_{1}x+\cdots+a_{n}x^{n}.
– Linearidade: dados (a_{i}) e (b_{i}) em \mathbb{R}^{n+1} e \lambda\in\mathbb{R},
\varphi\bigl((a_{i})+(b_{i})\bigr) =\varphi(a_{i}+b_{i}) =\sum_{k=0}^{n}(a_{k}+b_{k})x^{k} =\sum_{k=0}^{n}a_{k}x^{k}+\sum_{k=0}^{n}b_{k}x^{k} =\varphi(a_{i})+\varphi(b_{i}),
\varphi\bigl(\lambda\,(a_{i})\bigr) =\varphi(\lambda a_{i}) =\sum_{k=0}^{n}(\lambda a_{k})x^{k} =\lambda\sum_{k=0}^{n}a_{k}x^{k} =\lambda\,\varphi(a_{i}).
– Injetividade: \varphi(a_{i})=0 implica todos a_{k}=0, logo o núcleo é trivial.
– Sobrejetividade: dado qualquer polinômio p(x)=b_{0}+b_{1}x+\cdots+b_{n}x^{n}, escolhemos (a_{i})=(b_{0},b_{1},\dots,b_{n}) e \varphi(a_{i})=p.

Passo 3

Como \varphi é linear, injetora e sobrejetora, concluímos
\mathbb{R}^{n+1}\cong\mathcal{P}_{n}(\mathbb{R}).

Passo 4

Definimos
\psi: M(m,n)\to\mathbb{R}^{mn}, \qquad \psi\bigl([a_{ij}]_{1\le i\le m,\;1\le j\le n}\bigr) = (a_{11},a_{12},\dots,a_{1n},\,a_{21},\dots,a_{m n}).
– Linearidade: soma e multiplicação por escalar em matrizes corresponde à soma e multiplicação coordenada a coordenada em \mathbb{R}^{mn}.
– Injetividade: se \psi([a_{ij}])=\mathbf{0} então todos a_{ij}=0, ou seja, a matriz é a matriz zero.
– Sobrejetividade: dado (x_{1},x_{2},\dots,x_{mn}), basta formar a matriz cujos elementos, lidos na mesma ordem, são esses x_{k}.

Passo 5

Como \psi é linear, injetora e sobrejetora, temos
M(m,n)\cong\mathbb{R}^{mn}.

Resposta

\mathbb{R}^{n+1}\cong\mathcal{P}_{n}(\mathbb{R}) via \varphi(a_{0},\dots,a_{n})=a_{0}+a_{1}x+\cdots+a_{n}x^{n},
e M(m,n)\cong\mathbb{R}^{mn} via \psi([a_{ij}])=(a_{11},a_{12},\dots,a_{m n}).

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