[10] Verifique usando a definição que
e que
.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar duas isomorfias de espaços vetoriais sobre ℝ, ou seja, construir aplicações lineares bijetoras entre os pares
-
e , onde é o espaço dos polinômios de grau ≤ n, e -
e , onde é o espaço das matrizes .
Para isso vamos usar a definição: um isomorfismo é uma aplicação linear bijetora entre dois espaços vetoriais.
Passo 2
Definimos
– Linearidade: dados
e
em
e
,
– Injetividade:
implica todos
, logo o núcleo é trivial.
– Sobrejetividade: dado qualquer polinômio , escolhemos
e
.
– Sobrejetividade: dado qualquer polinômio
Passo 3
Como
é linear, injetora e sobrejetora, concluímos
Passo 4
Definimos
– Linearidade: soma e multiplicação por escalar em matrizes corresponde à soma e multiplicação coordenada a coordenada em
.
– Injetividade: se então todos
, ou seja, a matriz é a matriz zero.
– Sobrejetividade: dado , basta formar a matriz cujos elementos, lidos na mesma ordem, são esses
.
– Injetividade: se
– Sobrejetividade: dado
Passo 5
Como
é linear, injetora e sobrejetora, temos
Resposta
e