Determine se as seguintes transformações lineares são isomorfismos. No caso afirmativo determine a transformação inversa: T: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{2} onde T(x, y)=(2 y, 3 y-x)
e pede para verificar se T é um isomorfismo (isto é, bijetora e linear) e, em caso afirmativo, encontrar sua inversa T^{-1}. Para isso vamos representar T por uma matriz na base canônica, calcular seu determinante para testar invertibilidade e depois obter a matriz inversa.
Passo 2
A matriz de T na base canônica de \mathbb{R}^2 é
A = \begin{pmatrix} 0 & 2\\\\ -1 & 3 \end{pmatrix},
pois
T(x,y) = \begin{pmatrix} 0\cdot x + 2\cdot y\\\\ -1\cdot x + 3\cdot y \end{pmatrix}.
Passo 3
Calculamos o determinante de A:
\det(A) = 0\cdot 3 - (-1)\cdot 2 = 2.
Como \det(A)=2\neq 0, a matriz A é invertível e, portanto, T é um isomorfismo.