Determine se as seguintes transformações lineares são isomorfismos. No caso afirmativo determine a transformação inversa:
T: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{2} onde T(x, y)=(2 y, 3 y-x)

Passo 1

O enunciado fornece a transformação linear
T\colon \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^2,\quad T(x,y) = (2y,\;3y - x),
e pede para verificar se T é um isomorfismo (isto é, bijetora e linear) e, em caso afirmativo, encontrar sua inversa T^{-1}. Para isso vamos representar T por uma matriz na base canônica, calcular seu determinante para testar invertibilidade e depois obter a matriz inversa.

Passo 2

A matriz de T na base canônica de \mathbb{R}^2 é
A = \begin{pmatrix} 0 & 2\\\\ -1 & 3 \end{pmatrix},
pois
T(x,y) = \begin{pmatrix} 0\cdot x + 2\cdot y\\\\ -1\cdot x + 3\cdot y \end{pmatrix}.

Passo 3

Calculamos o determinante de A:
\det(A) = 0\cdot 3 - (-1)\cdot 2 = 2.
Como \det(A)=2\neq 0, a matriz A é invertível e, portanto, T é um isomorfismo.

Passo 4

Para achar a inversa basta usar a fórmula
A^{-1} = \frac{1}{\det(A)} \begin{pmatrix} d & -b\\\\ -c & a \end{pmatrix} = \frac{1}{2} \begin{pmatrix} 3 & -2\\\\ 1 & 0 \end{pmatrix}.
Assim, para (u,v)\in\mathbb{R}^2 temos
T^{-1}(u,v) = A^{-1}\begin{pmatrix}u\v\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{3u - 2v}{2}\\\ \frac{u}{2} \end{pmatrix}.

Resposta

T é um isomorfismo e
T^{-1}(u,v) = \Bigl(\tfrac{3u - 2v}{2},\,\tfrac{u}{2}\Bigr).

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