A implantação de um ponto sobre o terreno, conhecendo-se as suas coordenadas planimétricas, é um procedimento comum em uma obra. A tabela a seguir apresenta as coordenadas planimétricas ( \mathrm{X}, \mathrm{Y} ), em metros, dos pontos P1, P2 e P3.
Ponto X(m) Y(m)
P1 6676 11634
P2 8105 11361
P3 7020 10794
Considerando-se os dados da tabela, calcule os valores dos azimutes AzP1P2. AzP2P3 e AzP3P1.

Passo 1

O que o enunciado pede: calcular os azimutes \mathrm{AzP1P2},\; \mathrm{AzP2P3} e \mathrm{AzP3P1}.
Dados fornecidos (peguei os números da tabela do enunciado):
  • Ponto P1:\; X=6676,\; Y=11634.
  • Ponto P2:\; X=8105,\; Y=11361.
  • Ponto P3:\; X=7020,\; Y=10794.

Passo 2

O que é azimute e como vamos calcular (explicação didática, sem pular etapas):
  • Azimute é o ângulo medido no sentido horário a partir do Norte verdadeiro até a direção do ponto destino. Adotamos a convenção usual: 0^\circ = norte, 90^\circ = leste, 180^\circ = sul, 270^\circ = oeste, e o intervalo é [0^\circ,360^\circ).
  • Para um segmento que vai de um ponto origem (X_1,Y_1) para um ponto destino (X_2,Y_2) definimos as diferenças:
\Delta X = X_2-X_1 \quad\text{(deslocamento na direção Leste positivo)}çã
\Delta Y = Y_2-Y_1 \quad\text{(deslocamento na direção Norte positivo)}çã
  • Uma forma prática e segura (que evita confusão de quadrantes) é usar a função \operatorname{atan2} adaptada assim:
\text{Azimute} = \operatorname{atan2}(\Delta X,\;\Delta Y)\\ \text{(em graus)},
onde \operatorname{atan2}(a,b) dá o ângulo cujo tangente é a/b levando em conta os sinais de a e b. Depois, se o resultado for negativo, adiciona-se 360^\circ para ficar no intervalo [0^\circ,360^\circ).
  • Se não houver \operatorname{atan2} disponível, pode-se calcular
\alpha = \arctan\!\left(\left|\dfrac{\Delta X}{\Delta Y}\right|\right)
e escolher o quadrante conforme os sinais de \Delta X e \Delta Y:
  • \Delta X\ge0,\\ \Delta Y>0 \Rightarrow \text{Az}=\alpha.
  • \Delta X>0,\\ \Delta Y<0 \Rightarrow \text{Az}=180^\circ-\alpha.
  • \Delta X\le0,\\ \Delta Y<0 \Rightarrow \text{Az}=180^\circ+\alpha.
  • \Delta X<0,\\ \Delta Y>0 \Rightarrow \text{Az}=360^\circ-\alpha.
Vou usar essa regra com \alpha=\arctan\!\big(|\Delta X/\Delta Y|\big) para cada par de pontos, mostrando todos os passos.

Passo 3

Cálculo de \mathrm{AzP1P2} (origem P1, destino P2):
Calcule as diferenças (peguei as coordenadas da tabela):
\Delta X_{1\to2} = X_{2}-X_{1} = 8105-6676 = 1429,
\Delta Y_{1\to2} = Y_{2}-Y_{1} = 11361-11634 = -273.
Como \Delta X>0 e \Delta Y<0, o vetor aponta para sudeste; usamos a regra do quadrante: \text{Az}=180^\circ-\alpha, com
\alpha=\arctan\!\left(\left|\dfrac{\Delta X}{\Delta Y}\right|\right) =\arctan\!\left(\dfrac{1429}{273}\right).
Calcule a razão:
\dfrac{1429}{273}\approx 5{,}2350.
Agora a arctangente (valores em graus):
\alpha \approx \arctan(5{,}2350)\approx 79{,}189^\circ.
Portanto
\mathrm{AzP1P2}=180^\circ-\;79{,}189^\circ \approx 100{,}811^\circ.
Arredondando a duas casas decimais:
\mathrm{AzP1P2}\approx 100{,}81^\circ.

Passo 4

Cálculo de \mathrm{AzP2P3} (origem P2, destino P3):
Diferenças (peguei as coordenadas da tabela):
\Delta X_{2\to3} = X_{3}-X_{2} = 7020-8105 = -1085,
\Delta Y_{2\to3} = Y_{3}-Y_{2} = 10794-11361 = -567.
Aqui \Delta X<0 e \Delta Y<0: vetor aponta para sudoeste; usamos \text{Az}=180^\circ+\alpha, com
\alpha=\arctan\!\left(\left|\dfrac{\Delta X}{\Delta Y}\right|\right) =\arctan\!\left(\dfrac{1085}{567}\right).
Calcule a razão:
\dfrac{1085}{567}\approx 1{,}9131.
Arctangente:
\alpha \approx \arctan(1{,}9131)\approx 62{,}408^\circ.
Portanto
\mathrm{AzP2P3}=180^\circ+62{,}408^\circ \approx 242{,}408^\circ.
Arredondando a duas casas decimais:
\mathrm{AzP2P3}\approx 242{,}41^\circ.

Passo 5

Cálculo de \mathrm{AzP3P1} (origem P3, destino P1):
Diferenças (peguei as coordenadas da tabela):
\Delta X_{3\to1} = X_{1}-X_{3} = 6676-7020 = -344,
\Delta Y_{3\to1} = Y_{1}-Y_{3} = 11634-10794 = 840.
Aqui \Delta X<0 e \Delta Y>0: vetor aponta para noroeste; usamos \text{Az}=360^\circ-\alpha, com
\alpha=\arctan\!\left(\left|\dfrac{\Delta X}{\Delta Y}\right|\right) =\arctan\!\left(\dfrac{344}{840}\right).
Calcule a razão:
\dfrac{344}{840}\approx 0{,}409524.
Arctangente:
\alpha \approx \arctan(0{,}409524)\approx 22{,}269^\circ.
Portanto
\mathrm{AzP3P1}=360^\circ-22{,}269^\circ \approx 337{,}731^\circ.
Arredondando a duas casas decimais:
\mathrm{AzP3P1}\approx 337{,}73^\circ.

Resposta

\mathrm{AzP1P2}\approx 100{,}81^\circ
\mathrm{AzP2P3}\approx 242{,}41^\circ
\mathrm{AzP3P1}\approx 337{,}73^\circ

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