(1,0 ponto ) Determine a equação correspondente a S: x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}-2 x_{3}=0 nas coordenadas esféricas \rho, \theta, \varphi.

Passo 1

O enunciado dá a superfície S definida por
x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}-2 x_{3}=0
e pede: determinar a equação correspondente a S nas coordenadas esféricas \rho,\theta,\varphi.
Informações relevantes fornecidas:
  • A equação cartesiana da superfície é x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}-2 x_{3}=0.
  • Deve-se reescrever essa mesma superfície usando as variáveis esféricas \rho,\theta,\varphi.
  • Não foram dadas definições explícitas para \rho,\theta,\varphi, portanto usaremos a convenção padrão:
    • \rho é a distância radial ao origem, \rho\ge 0;
    • \theta é o ângulo azimutal no plano x_{1}x_{2}, \theta\in[0,2\pi);
    • \varphi é o ângulo polar contado a partir do eixo positivo x_{3}, \varphi\in[0,\pi].

Passo 2

Explicar a relação entre coordenadas cartesianas e esféricas (convenção usada) — isto é fundamental para substituir corretamente.
As fórmulas padrão (conforme a convenção descrita) são:
x_{1}=\rho\sin\varphi\cos\theta, \qquad x_{2}=\rho\sin\varphi\sin\theta, \qquad x_{3}=\rho\cos\varphi.
Aqui:
  • \rho é o comprimento do vetor posição (x_{1},x_{2},x_{3});
  • \varphi mede a inclinação em relação ao eixo x_{3} (quando \varphi=0 o ponto está no eixo positivo x_{3});
  • \theta determina a direção no plano x_{1}x_{2}.
Um lembrete útil: \rho^{2}=x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}. Isso frequentemente simplifica substituições.

Passo 3

Substituir as expressões esféricas na equação dada. Primeiro note que o termo x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2} é simplesmente \rho^{2}. Portanto a equação original vira:
\rho^{2}-2x_{3}=0.
Agora substitui-se x_{3}=\rho\cos\varphi diretamente:
\rho^{2}-2(\rho\cos\varphi)=0.

Passo 4

Fazer a manipulação algébrica detalhada e explicar cada passo.
A equação obtida é
\rho^{2}-2\rho\cos\varphi=0.
Fatora-se \rho (note que \rho\ge0):
\rho\bigl(\rho-2\cos\varphi\bigr)=0.
Isto é uma igualdade de produtos igual a zero, então pelo princípio do produto nulo temos duas possibilidades para pontos que satisfazem a equação:
\text{(i)}\\ \rho=0 \qquad\text{ou}\qquad \text{(ii)}\\ \rho=2\cos\varphi.

Passo 5

Interpretar as duas possibilidades e escolher a forma útil da equação de superfície.
  • A solução \rho=0 corresponde unicamente ao ponto origem. Esse ponto satisfaz a equação original (verificando: 0+0+0-0=0), então faz parte da superfície.
  • A solução \rho=2\cos\varphi descreve o resto da superfície. Como \rho deve ser não negativa, exige-se 2\cos\varphi\ge0, ou seja \cos\varphi\ge0. Isso implica \varphi\in[0,\tfrac{\pi}{2}] (inclusive \varphi=\tfrac{\pi}{2} que dá \rho=0, o caso da origem).
Geometricamente, a equação cartesiana representa uma esfera centrada em (0,0,1) de raio 1. Essa esfera fica totalmente na região x_{3}\ge0, o que explica a restrição \varphi\in[0,\tfrac{\pi}{2}].

Passo 6

Apresentar a equação final em coordenadas esféricas e comentar domínios.
A equação equivalente em coordenadas esféricas pode ser dada de forma compacta por
\rho(\rho-2\cos\varphi)=0,
ou, para descrever a superfície (exceto a representação trivial do ponto origem), por
\rho=2\cos\varphi,\qquad \text{com } \varphi\in\bigl[0,\tfrac{\pi}{2}\bigr].
A segunda forma é a mais usada para representar a esfera na parametrização esférica; a primeira inclui explicitamente o caso \rho=0.

Resposta

\rho(\rho-2\cos\varphi)=0\n
\rho=2\cos\varphi,\\ \varphi\in[0,\tfrac{\pi}{2}]

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