(1,0 ponto ) Determine a equação correspondente a
nas coordenadas esféricas
.
Passo 1
O enunciado dá a superfície
definida por
e pede: determinar a equação correspondente a
nas coordenadas esféricas
.
Informações relevantes fornecidas:
- A equação cartesiana da superfície é
. - Deve-se reescrever essa mesma superfície usando as variáveis esféricas
. - Não foram dadas definições explícitas para
, portanto usaremos a convenção padrão: -
é a distância radial ao origem, ; -
é o ângulo azimutal no plano , ; -
é o ângulo polar contado a partir do eixo positivo , .
-
Passo 2
Explicar a relação entre coordenadas cartesianas e esféricas (convenção usada) — isto é fundamental para substituir corretamente.
As fórmulas padrão (conforme a convenção descrita) são:
Aqui:
-
é o comprimento do vetor posição ; -
mede a inclinação em relação ao eixo (quando o ponto está no eixo positivo ); -
determina a direção no plano .
Um lembrete útil:
. Isso frequentemente simplifica substituições.
Passo 3
Substituir as expressões esféricas na equação dada. Primeiro note que o termo
é simplesmente
. Portanto a equação original vira:
Agora substitui-se
diretamente:
Passo 4
Fazer a manipulação algébrica detalhada e explicar cada passo.
A equação obtida é
Fatora-se
(note que
):
Isto é uma igualdade de produtos igual a zero, então pelo princípio do produto nulo temos duas possibilidades para pontos que satisfazem a equação:
Passo 5
Interpretar as duas possibilidades e escolher a forma útil da equação de superfície.
- A solução
corresponde unicamente ao ponto origem. Esse ponto satisfaz a equação original (verificando: ), então faz parte da superfície. - A solução
descreve o resto da superfície. Como deve ser não negativa, exige-se , ou seja . Isso implica (inclusive que dá , o caso da origem).
Geometricamente, a equação cartesiana representa uma esfera centrada em
de raio
. Essa esfera fica totalmente na região
, o que explica a restrição
.
Passo 6
Apresentar a equação final em coordenadas esféricas e comentar domínios.
A equação equivalente em coordenadas esféricas pode ser dada de forma compacta por
ou, para descrever a superfície (exceto a representação trivial do ponto origem), por
A segunda forma é a mais usada para representar a esfera na parametrização esférica; a primeira inclui explicitamente o caso
.