(1,5 ponto) Determine a equação da reta tangente ao gráfico de h(x)= (x-1) sen(x)-2 no ponto com abscissa 0.

Passo 1

Estamos buscando a reta tangente ao gráfico de h(x) = (x − 1)·sen(x) − 2 no ponto de abscissa x₀ = 0. Para isso, vamos precisar do valor de h(0) (para achar o ponto) e de h′(0) (para achar o coeficiente angular).

Passo 2

Primeiro, calculamos o valor da função em x₀ = 0. Temos:
h(0) = (0 - 1)cdot sin(0) - 2 = -1cdot 0 - 2 = -2
Logo, o ponto de tangência é (0, −2).

Passo 3

Agora, vamos obter a derivada h′(x). Aplicando a regra do produto em (x − 1)·sen(x) e lembrando que a derivada de sen(x) é cos(x), temos:
h'(x) = ddx[(x - 1)sin(x)] = 1cdot sin(x) + (x - 1)cdot cos(x)

Passo 4

Em seguida, avaliamos a derivada em x₀ = 0:
h'(0) = sin(0) + (0 - 1)cos(0) = 0 + (-1)cdot 1 = -1
Portanto, o coeficiente angular da reta tangente é m = -1.

Passo 5

Por fim, usamos a fórmula da reta em ponto-coeficiente angular: y - y₀ = m(x - x₀). Substituindo (x₀, y₀) = (0, -2) e m = -1, obtemos:
y - (-2) = -1,(x - 0)
que simplifica para y = -x - 2.

Resposta

y = -x - 2

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