Determine a equação da reta tangente ao gráfico de
no ponto com abscissa 0.
Passo 1
Estamos buscando a reta tangente ao gráfico de h(x) = (x − 1)·sen(x) − 2 no ponto de abscissa x₀ = 0. Para isso, vamos precisar do valor de h(0) (para achar o ponto) e de h′(0) (para achar o coeficiente angular).
Passo 2
Primeiro, calculamos o valor da função em x₀ = 0. Temos:
Logo, o ponto de tangência é (0, −2).
Passo 3
Agora, vamos obter a derivada h′(x). Aplicando a regra do produto em (x − 1)·sen(x) e lembrando que a derivada de sen(x) é cos(x), temos:
Passo 4
Em seguida, avaliamos a derivada em x₀ = 0:
Portanto, o coeficiente angular da reta tangente é m = -1.
Passo 5
Por fim, usamos a fórmula da reta em ponto-coeficiente angular: y - y₀ = m(x - x₀). Substituindo (x₀, y₀) = (0, -2) e m = -1, obtemos:
que simplifica para y = -x - 2.
Resposta
y = -x - 2