Exercício 4 (Derivadas Direcionais e Vetor Gradiente) Seja f(x, y, z)=x^2+y^2+z^2. Encontre o vetor gradiente de f no ponto P(1,2,3) e determine a derivada direcional na direção do vetor u=(-1,1,2).

Passo 1

Resumo do problema: temos a função f(x,y,z)=x^2+y^2+z^2, o ponto P(1,2,3) e o vetor de direção u=(-1,1,2). Queremos calcular o vetor gradiente em P e a derivada direcional de f na direção de u.

Passo 2

O vetor gradiente de f é dado por nabla f=(partial f/partial x,partial f/partial y,partial f/partial z). Precisamos então achar as derivadas parciais de f.

Passo 3

Calculando as derivadas parciais: partial fpartial x=2x,partial fpartial y=2y,partial fpartial z=2z

Passo 4

Avaliando em P(1,2,3) obtemos: nabla f(1,2,3)=(2cdot1,;2cdot2,;2cdot3)=(2,4,6)

Passo 5

Para a derivada direcional usamos D uf(P)=nabla f(P)cdot eu, onde eu é o vetor unitário de u.

Passo 6

Normalizando u: | u|=raiz(-1)^2+1^2+2^2=raiz6, eu=l(-tfrac1raiz6,tfrac1raiz6,tfrac2raiz6r)

Passo 7

O produto escalar fica: nabla f(1,2,3)cdot eu = (2,4,6)cdotl(-tfrac1raiz6,tfrac1raiz6,tfrac2raiz6r)=-2+4+12raiz6=14raiz6=7raiz63

Resposta

Vetor gradiente em P: nabla f(1,2,3)=(2,4,6). Derivada direcional de f em P na direção de u: dfrac7raiz63.

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