Exercício 4 (Derivadas Direcionais e Vetor Gradiente) Seja
. Encontre o vetor gradiente de
no ponto
determine a derivada direcional na direção do vetor
.
Passo 1
Resumo do problema: temos a função
, o ponto
e o vetor de direção
. Queremos calcular o vetor gradiente em
e a derivada direcional de
na direção de
.
Passo 2
O vetor gradiente de
é dado por
. Precisamos então achar as derivadas parciais de
.
Passo 3
Calculando as derivadas parciais:
Passo 4
Avaliando em
obtemos:
Passo 5
Para a derivada direcional usamos
, onde
é o vetor unitário de
.
Passo 6
Normalizando
:
Passo 7
O produto escalar fica:
Resposta
Vetor gradiente em P:
. Derivada direcional de
em P na direção de
:
.