(1.5 ponto) Determine o intervalo de convergência da série de potências sumn=1^infty 2^n(x-2)^nn.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente encontrar o intervalo de convergência da série de potências dada por:
sumn=1^infty 2^n(x-2)^nn
Para isso, vamos precisar usar o Teste da Razão, que é uma ferramenta poderosa para determinar onde uma série de potências converge.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a série para facilitar a aplicação do Teste da Razão. Vamos chamar o termo geral da série de $ a_n $:
an

Passo 3

Agora, aplicamos o Teste da Razão. Esse teste diz que a série converge se:
limn to infty | an+1an | < 1
Vamos calcular esse limite:
an+1an = 2^n+1(x-2)^n+1/(n+1)2^n(x-2)^n/n = 2(x-2) cdot nn+1

Passo 4

Simplificando o limite:
limn to infty | 2(x-2) cdot nn+1 | = | 2(x-2) | cdot limn to infty nn+1 = | 2(x-2) | cdot 1 = | 2(x-2) |
Para a série convergir, precisamos que:
| 2(x-2) | < 1

Passo 5

Vamos resolver essa inequação:
|2(x-2)| < 1 Rightarrow |x-2| < 12
Isso significa que o raio de convergência é $ \frac{1}{2} $ e o centro da série é $ x = 2 $. Então, o intervalo inicial de convergência é:
12

Passo 6

Agora, precisamos verificar os extremos desse intervalo para ver se a série converge nesses pontos.
  • Para $ x = 1.5 $:
x = 1.5
A série fica:
an = 2^n(1.5-2)^nn = 2^n(-0.5)^nn = (-1)^nn
Essa é a série alternada, que converge condicionalmente.
  • Para $ x = 2.5 $:
sumn=1^infty (-1)^nn
A série fica:
x = 2.5
Essa é a série harmônica, que não converge.

Resposta

O intervalo de convergência da série é $ 1.5 \leq x < 2.5 $.

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