ponto) Determine o intervalo de convergência da série de potências
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Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente encontrar o intervalo de convergência da série de potências dada por:
Para isso, vamos precisar usar o Teste da Razão, que é uma ferramenta poderosa para determinar onde uma série de potências converge.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a série para facilitar a aplicação do Teste da Razão. Vamos chamar o termo geral da série de $ a_n $:
Passo 3
Agora, aplicamos o Teste da Razão. Esse teste diz que a série converge se:
Vamos calcular esse limite:
Passo 4
Simplificando o limite:
Para a série convergir, precisamos que:
Passo 5
Vamos resolver essa inequação:
Isso significa que o raio de convergência é $ \frac{1}{2} $ e o centro da série é $ x = 2 $. Então, o intervalo inicial de convergência é:
Passo 6
Agora, precisamos verificar os extremos desse intervalo para ver se a série converge nesses pontos.
- Para $ x = 1.5 $:
A série fica:
Essa é a série alternada, que converge condicionalmente.
- Para $ x = 2.5 $:
A série fica:
Essa é a série harmônica, que não converge.
Resposta
O intervalo de convergência da série é $ 1.5 \leq x < 2.5 $.