(1.5 ponto) Obtenha as equações de recorrência das soluções em série de potências em torno do ponto 0 da EDO y^prime prime+x y^prime+2 y=0.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar as equações de recorrência para as soluções em série de potências da equação diferencial ordinária (EDO) $ y’’ + x y’ + 2 y = 0 $ ao redor do ponto 0. Basicamente, vamos representar a solução $ y $ como uma série em potências de $ x $ e descobrir como os coeficientes dessa série se relacionam.

Passo 2

Primeiro, vamos supor que a solução $ y $ pode ser escrita como uma série de potências em torno de 0:
y
Aqui, $ a_n $ são os coeficientes que queremos encontrar.

Passo 3

Agora, precisamos calcular as derivadas de $ y $ em relação a $ x $:
  • A primeira derivada $ y’ $ é:
y
  • A segunda derivada $ y’’ $ é:
x
Nessas expressões, só ajustamos os índices para começar a soma de $ n = 0 $.

Passo 4

Vamos substituir $ y $, $ y’ $ e $ y’’ $ na equação diferencial original:
y
Substituindo as séries que encontramos:
y'

Passo 5

Vamos simplificar o termo com $ x y’ $. Multiplicando $ x $ pela série de $ y’ $:
x y'
Agora, reescrevendo todas as séries com o mesmo índice de potência de $ x $:
x
Para que essa igualdade seja válida para todo $ x $, os coeficientes de cada $ x^n $ devem somar zero.

Passo 6

Vamos igualar os coeficientes de $ x^n $ a zero. Para $ n = 0 $:
x^n
Para $ n \geq 1 $:
n = 0
Simplificando a equação para $ n \geq 1 $:
(0+2)(0+1) a2 + 2 a0 = 0 implies 2 a2 + 2 a0 = 0

Resposta

A equação de recorrência para os coeficientes da série é:
an+2 = -n + 2(n + 2)(n + 1) , an = -1n + 1 , an
Ou seja, para todo $ n \geq 0 $:
n >= 0
Isso nos permite calcular os coeficientes $ a_{n+2} $ a partir de $ a_n $.

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