(1.5 ponto) Obtenha as equações de recorrência das soluções em série de potências em torno do ponto 0 da EDO
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Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar as equações de recorrência para as soluções em série de potências da equação diferencial ordinária (EDO) $ y’’ + x y’ + 2 y = 0 $ ao redor do ponto 0. Basicamente, vamos representar a solução $ y $ como uma série em potências de $ x $ e descobrir como os coeficientes dessa série se relacionam.
Passo 2
Primeiro, vamos supor que a solução $ y $ pode ser escrita como uma série de potências em torno de 0:
Aqui, $ a_n $ são os coeficientes que queremos encontrar.
Passo 3
Agora, precisamos calcular as derivadas de $ y $ em relação a $ x $:
- A primeira derivada $ y’ $ é:
- A segunda derivada $ y’’ $ é:
Nessas expressões, só ajustamos os índices para começar a soma de $ n = 0 $.
Passo 4
Vamos substituir $ y $, $ y’ $ e $ y’’ $ na equação diferencial original:
Substituindo as séries que encontramos:
Passo 5
Vamos simplificar o termo com $ x y’ $. Multiplicando $ x $ pela série de $ y’ $:
Agora, reescrevendo todas as séries com o mesmo índice de potência de $ x $:
Para que essa igualdade seja válida para todo $ x $, os coeficientes de cada $ x^n $ devem somar zero.
Passo 6
Vamos igualar os coeficientes de $ x^n $ a zero. Para $ n = 0 $:
Para $ n \geq 1 $:
Simplificando a equação para $ n \geq 1 $:
Resposta
A equação de recorrência para os coeficientes da série é:
Ou seja, para todo $ n \geq 0 $:
Isso nos permite calcular os coeficientes $ a_{n+2} $ a partir de $ a_n $.