(1,0 ponto) Determine os intervalos de crescimento e decrescimento de g(x)=e^x cos (x) em 0 <= x <= pi.

Passo 1

O enunciado dá a função
g(x)=e^xcos(x)
no intervalo 0<= x<= pi e pede onde ela cresce ou decresce. Para isso vamos usar o teste da derivada: calcular g'(x), achar pontos críticos em que g'(x)=0 e, em seguida, analisar o sinal de g'(x) em cada subintervalo.

Passo 2

Derivando por produto, temos
g'(x)=ddxl(e^xr)cos(x)+e^xddxl(cos(x)r) =e^xcos(x)-e^xsin(x) =e^xl(cos(x)-sin(x)r)

Passo 3

Os pontos críticos satisfazem
g'(x)=0 Long<=ftrightarrow e^xl(cos(x)-sin(x)r)=0 Long<=ftrightarrow cos(x)=sin(x)
Isto é tan(x)=1, cujas soluções em [0,pi] são
x=pi4

Passo 4

Como e^x>0 para todo x, o sinal de g'(x) é o mesmo de cos(x)-sin(x).
  • Se 0<x<tfracpi4, então cos(x)>sin(x), logo g'(x)>0.
  • Se tfracpi4<x<pi, então cos(x)<sin(x), logo g'(x)<0.

Resposta

g(x) é crescente em [0,tfracpi4] e decrescente em [tfracpi4,pi].

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